Sistemas lineales ct y ecuaciones diferenciales

Sistemas lineales de tiempo-continuo

Físicamente realizable, los sistemas lineales invariantes en el tiempo pueden ser descritos por un conjuto de ecuaciones lineales diferenciales:

$$\frac{d^{n}y(t)}{dt^n}+a_{n-1}\frac{d^{n-1}y(t)}{dt^{n-1}}+\dots +a_1\frac{d y(t)}{d t}+a_{0}y(t)=b_m\frac{d^{m}f(t)}{dt^m}+\dots +b_1\frac{d f(t)}{d t}+b_{0}f(t)$$ Equivalentemente,

Es fácil mostra que estas ecuaciones definen un sistema que es lineal e invariante en el tiempo. Entonces una pregunta natural es ¿cómo encontrar la respuesta al impulso del sistema $y(t)$ para una entrada $f(t)$ ?. Recordando que tal solución se puede escribir como: $$y(t)=y_i(t)+y_s(t)$$ Nos referimos a $y_i(t)$ como la respuesta de salida-cero -- la solución homogenea debido a las condiciones iniciales del sistema. Nos referimos a $y_s(t)$ como la respuesta de estado-cero -- la solución particular en respuesta a la entrada $f(t)$ . Ahora veremos como resolver cada una de estos componentes de la respuesta del sistema.

Encontrando la respuesta de entrada-cero

La respuesta de la entrada-cero, $y_i(t)$ , es la respuesta del sistema debido solo a las condiciones iniciales .

No hay entrada, así que resolvemos para: $y_0(t)$ tal que

Solo el exponencial, $e^{st}$ donde $s\in \mathbb{C}$ , tiene esta propiedad (véase un libro de texto de Ecuaciones Diferenciales para más detalles). Así que asumimos que,

Since $\frac{d y_0(t)}{d t}=cse^{st}$ , $\frac{d^2{y}_0(t)}{dt^2}=cs^{2}e^{st}$ , … tenemos $$(D^n+a_{n-1}D^{(n-1)}+\dots +a_0)y_0(t)=0$$

Generalmente asumimos que las IC's de un sistema son cero, lo que implica que $y_i(t)=0$ . Sin embargo, el método de resolver para $y_i(t)$ se probará más adelante.

Encontrando la respuesta del estado-cero

Resolviendo una ecuación lienal diferencial

La Convolución nos ayuda a pasar estas dificultades. En la sección explicamos como la convolución nos ayuda a determinar la salida del sistema, dada solo la entrada $f(t)$ y la respuesta al impulso del sistema, $h(t)$ .

Antes de derivar el procedimiento de convolución, mostramos que la respuesta al impulso es derivada facilmente de su ecuación lineal diferencial (LDE). Mostraremos la derivación del siguiente LDE, donde $m< n$ :