<< Chapter < Page Chapter >> Page >
This module defines eigenvalues and eigenvectors and explains a method of finding them given a matrix. These ideas are presented, along with many examples, in hopes of leading up to an understanding of the Fourier Series.

En esta sección, nuestro sistema lineal seráuna matriz de n×n de números complejos. Algunos conceptos de este modulo están basado en los conceptos básicos de álgebra lineal .

Eigenvectores y eigenvalores

Sea A una matriz de n×n donde A es un operador lineal en los vectores de n .

A x b
donde x y b son vectores de n×1 ( ).

Ilustración de un sistema lineal y vectores.
Eigenvector
Un eigenvector de A es un vector v n tal que
A v λ v
donde λ es llamado el eigenvalor correspondiente. A solo cambia la longitud de v , no su dirección.

Modelo grÁFico

A través de las siguientes y , veamos las diferencias de la y de la .

Representa la , A x b .

Si v es un eigenvector de A , entonces solo su longitud cambia. Véase y note que la longitud de nuestro vector esta simplemente escalada por una variable λ , llamada eigenvalor :

Representa la , A v λ v .

Cuando tratamos con una matriz A , los eigenvectores son los vectores posibles más simples para trabajar.

Ejemplos

Por inspección y entendimiento de eigenvectores, encuentre los dos eigenvectores v 1 y v 2 , de A 3 0 0 -1 También¿cuáles son los eigenvalores correspondientes, λ 1 y λ 2 ? No se preocupe si tiene problemas viendo estos valores de la información dada hasta ahora, veremos otras maneras mas rigurosas de encontrar estos valores.

Los eigenvectores que debióencontrar son: v 1 1 0 v 2 0 1 Y los eigenvalores correspondientes son: λ 1 3 λ 2 -1

Got questions? Get instant answers now!

Muestre que estos dos vectores, v 1 1 1 v 2 1 -1 son eigenvectores de A , donde A 3 -1 -1 3 . También encuentre los eigenvalores correspondientes.

Para poder probar que estos dos vectores son eigenvectores, mostraremos que estas afirmaciones cumplen con los requisitos que indica la definición . A v 1 3 -1 -1 3 1 1 2 2 A v 2 3 -1 -1 3 1 -1 4 -4 Este resultado nos muestra que A solo escala los dos vectores ( es decir cambia sus longitudes) y esto prueba que la es cierta para los siguientes dos eigenvalores que se le pidióque encontrara: λ 1 2 λ 2 4 .Si quiere convencerse más, entonces también se pueden graficar los vectores y su producto correspondiente con A para ver los resultados como una versión escalada de los vectores originales v 1 y v 2 .

Got questions? Get instant answers now!

Calculando eigenvalores y eigenvectores

En los ejemplos anteriores, confiamos en su entendimiento de la definición y de algunas observaciones para encontrar y probar los valores de los eigenvectores y eigenvalores. Sin embrago como se puede dar cuenta, encontrar estos valores no siempre es fácil. A continuación veremos un método matemático para calcular eigenvalores y eigenvectores de una matriz.

Encontrando eigenvalores

Encontrar λ tal que v 0 , donde 0 es el“vector cero”. Empezaremos con la , trabajemos de la siguiente manera mientras encontramos una manera explicita de calcular λ . A v λ v A v λ v 0 A λ I v 0 En el paso previo, usamos el hecho de que λ v λ I v donde I es la matriz identidad. I 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Por lo tanto, A λ I es justo una matriz nueva.

Dada la siguiente matriz, A , entonces podemos encontrar nuestra nueva matriz, A λ I . A a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 A λ I a 1 1 λ a 1 2 a 2 1 a 2 2 λ

Got questions? Get instant answers now!

Si A λ I v 0 para algún v 0 , entonces A λ I es no invertible . Esto quiere decir: A λ I 0 este determinante (el mostrado arriba) se vuelve una expresión polinomial (de grado n ). Véase el siguiente ejemplo para entender mejor.

Empezando con la matriz A (mostrada a continuación), encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes. A 3 -1 -1 3 A λ I 3 λ -1 -1 3 λ A λ I 3 λ 2 -1 2 λ 2 6 λ 8 λ 2 4

Got questions? Get instant answers now!

Empezando con la matriz A (mostrada a continuación),encontremos la expresión polinomial, donde nuestros eigenvalores serán variables dependientes. A a 1 1 a 1 2 a 2 1 a 2 2 A λ I a 1 1 λ a 1 2 a 2 1 a 2 2 λ A λ I λ 2 a 1 1 a 2 2 λ a 2 1 a 1 2 a 1 1 a 2 2

Got questions? Get instant answers now!

Si no lo han notado, calcular los eigenvalores es equivalente a calcular las raíces de A λ I c n λ n c n 1 λ n 1 c 1 λ c 0 0

Por lo tanto usando unos pequeños cálculos para resolver las raíces de nuestro polinomio, podemos encontrar los eigenvalores de la matriz.

Encontrando eigenvectores

Dado un eigenvalor, λ i , el eigenvector asociado esta dado por A v λ i v A v 1 v n λ 1 v 1 λ n v n conjunto de n ecuaciones con n incognitas. Simplemente se resuelven las solve the n ecuaciones para encontrar los eigenvectores.

Punto principal

El decir que los eigenvectores de A , v 1 v 2 v n , generan el subespacio n , significa que v 1 v 2 v n son linealmente independientes y que podemos escribir cualquier x n como

x α 1 v 1 α 2 v 2 α n v n
donde α 1 α 2 α n Todo lo que estamos haciendo es reescribir x en términos de los eigenvectores de A . Entonces, A x A α 1 v 1 α 2 v 2 α n v n A x α 1 A v 1 α 2 A v 2 α n A v n A x α 1 λ 1 v 1 α 2 λ 2 v 2 α n λ n v n b por lo tanto podemos escribir, x i α i v i Y esto nos lleva a la siguiente representación del sistema:

Ilustración del sistema donde descomponemos nuestro vector, x , en la suma de sus eigenvectores.

donde en la tenemos, b i α i λ i v i

Descomponiendo nuestro vector, x , en una combinación de eigenvectores, la solución de A x esta dada en piezas“fáciles de digerir".

Problema de prÁCtica

Para la siguiente matriz, A y vector x , resuélvase por sus productos. Trate de resolverlos por los dos diferentes métodos: directamente y usando eigenvectores. A 3 -1 -1 3 x 5 3

Método Directo (usese la multiplicación básica de matrices) A x 3 -1 -1 3 5 3 12 4 Eigenvectores (use los eigenvectores y eigenvalores que se encotraron anteriormente para esta misma matriz) v 1 1 1 v 2 1 -1 λ 1 2 λ 2 4 Como se muestra en la , queremos representar x como la suma de sus eigenvectores escalados. Para este caso tenemos: x 4 v 1 v 2 x 5 3 4 1 1 1 -1 A x A 4 v 1 v 2 λ i 4 v 1 v 2 Por lo tanto, tenemos A x 4 2 1 1 4 1 -1 12 4 Nótese que el método usando eigenvectores no requiere multiplicación de matrices. . Esto puede parecer mas complicado hasta ahora, pero, imagine que A es de dimensiones muy grandes.

Got questions? Get instant answers now!

Questions & Answers

find the 15th term of the geometric sequince whose first is 18 and last term of 387
Jerwin Reply
I know this work
salma
The given of f(x=x-2. then what is the value of this f(3) 5f(x+1)
virgelyn Reply
hmm well what is the answer
Abhi
how do they get the third part x = (32)5/4
kinnecy Reply
can someone help me with some logarithmic and exponential equations.
Jeffrey Reply
sure. what is your question?
ninjadapaul
20/(×-6^2)
Salomon
okay, so you have 6 raised to the power of 2. what is that part of your answer
ninjadapaul
I don't understand what the A with approx sign and the boxed x mean
ninjadapaul
it think it's written 20/(X-6)^2 so it's 20 divided by X-6 squared
Salomon
I'm not sure why it wrote it the other way
Salomon
I got X =-6
Salomon
ok. so take the square root of both sides, now you have plus or minus the square root of 20= x-6
ninjadapaul
oops. ignore that.
ninjadapaul
so you not have an equal sign anywhere in the original equation?
ninjadapaul
hmm
Abhi
is it a question of log
Abhi
🤔.
Abhi
I rally confuse this number And equations too I need exactly help
salma
But this is not salma it's Faiza live in lousvile Ky I garbage this so I am going collage with JCTC that the of the collage thank you my friends
salma
Commplementary angles
Idrissa Reply
hello
Sherica
im all ears I need to learn
Sherica
right! what he said ⤴⤴⤴
Tamia
hii
Uday
hi
salma
what is a good calculator for all algebra; would a Casio fx 260 work with all algebra equations? please name the cheapest, thanks.
Kevin Reply
a perfect square v²+2v+_
Dearan Reply
kkk nice
Abdirahman Reply
algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
Kim Reply
or infinite solutions?
Kim
The answer is neither. The function, 2 = 0 cannot exist. Hence, the function is undefined.
Al
y=10×
Embra Reply
if |A| not equal to 0 and order of A is n prove that adj (adj A = |A|
Nancy Reply
rolling four fair dice and getting an even number an all four dice
ramon Reply
Kristine 2*2*2=8
Bridget Reply
Differences Between Laspeyres and Paasche Indices
Emedobi Reply
No. 7x -4y is simplified from 4x + (3y + 3x) -7y
Mary Reply
how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Señales y sistemas' conversation and receive update notifications?

Ask