Standaardafwyking en variansie  (Page 3/3)

Dit is gewoonlik nuttig om die data in ‘n tabel te plaas om sodoende die formules maklik te gebruil. Om byvoorbeeld die standaard afwyking te bereken van $\{57;53;58;65;48;50;66;51\}$ , kan jy dit op die volgende manier voorstel:

Note: Om die afwykings te kry, trek elke getal ad van die gemiddeld.

Note: Die som van die afwykings van om die gemiddeld is nul. Dit sal altyd die geval wees dat $(X-\overline{X})=0$ , vir enige datastel. Verstaan jy hoekom?

Bereken die variansie (tel die kwadratiese resultate bymekaar en deel dit deur die hoeveelheid elemente).

Die verskil tussen populasie variansie en steekproef variansie

Soos met variansie, tref ons onderskeid tussen standaard afwyking $\sigma$ , van ‘n hele populasie en standaard afwyking, $s$ , van ‘n steekproef onttrek vanuit die hele populasie.

Wanneer ons met die hele populasie werk is die (populasie) standaard afwyking ‘n konstante wat help om die populasie te beskryf. Wanneer ons met ‘n steekproef van die populasie werk verskil die (steekproef) standaard afwyking van steekproef tot steekproef.

Met ander woorde: Die standaard afwyking kan as volg bereken word:

1. Bereken die gemiddelde waarde $\overline{x}$ .
2. Vir elke data waarde $x_i$ bereken die verskil $x_i-\overline{x}$ tussen $x_i$ en die gemiddelde waarde $\overline{x}$ .
3. Bereken die kwadraat van hierdie verskille.
4. Vind die gemiddeld van die kwadratiese verskille. Hierdie hoeveelheid is die variansie, ${\sigma }^2$ .
5. Neem die vierkantswortel van die variansie om die standaard afwyking te verkry., $\sigma$ .

Interpretasie en toepassings

’n Groot standaard afwykingdui aan dat die waardes in die datastel ver is van die gemiddeld en ‘n klein standaard afwyking dui aan hulle gegroepeer is naby aan die gemiddeld.

Byvoorbeeld,elk van die drie steekproewe (0, 0, 14, 14), (0, 6, 8, 14), en (6, 6, 8, 8) het afsonderlik ‘n gemiddeld van 7. Die standaard afwykings is afsonderlik 8.08, 5.77 en 1.15. Die derde stel het ‘n veel kleiner standaard afwyking as die ander twee omdat die elemente nader aan 7 is. Die waarde van die standaard afwyking kan slegs evalueer word as groot of klein relatief tot die steekproef wat geneem word. In hierdie geval, is ‘n standaard afwyking van 7 taamlik groot. Gegewe ‘n ander steekproef, relatief klein gewees het.

Standaard afwyking kan gesien word as die mate van onsekerheid. In die Wetenskap byvoorbeeld, sal dia standaard afwyking van die resultate van ‘n herhaalde eksperiment aandui hoe presies die metings was. Wanneer daar besluit word of metings ooreenstem met ‘n teoretiese voorspelling, is die standaard afwyking van uiterste belang: Indien die gemiddeld van die meetings te ver weg is van die voorspelling (met “afstand” gemeet in standaard afwykings), is die metings teenstrydig met die voorspelling. Dit maak sin omdat hulle buite die strekking van waardes val wat redelik verwag kan word indien die voorspelling korrek was, en die standaard afwyking ooreenstemmend bereken is. (Kyk ook na voorspellingsinterval.)

Verhouding tussen standaard afwyking en die gemiddeld

Die gemiddeld en die standaard afwyking van ‘n datastel word gewoonlik saam gegee. In ‘n sekere sin, is die standaard afwyking ‘n “natuurlike” maatstaf van statistiese dispersie indien die middel van die data stel om die gemiddeld gemeet word.

Gemiddeld en standaard afwykings

1. Bridget het ‘n opname gemaak van die prys van petrol by vulstasies in Kaapstad en Durban. Die rou data, in rand per liter word hier onder gegee:

   Kaapstad	8,96	8,76	9,00	8,91	8,69	8,72
   Durban	8,97	8,81	8,52	9,08	8,88	8,68

   1. Vind die data gemiddelde prys in elke stad en bepaal dan watter een het die laagste gemiddeld.
   2. Neem aan dat die data die hele populasie is. Vind die standaard afwyking vir die pryse in elke stad.
   3. Neem aan die data is ‘n steekproef en vind die standaard afwyking vir die pryse in elke stad.
   4. Watter stad het meer konsekwente pryse vir petrol?
2. Die volgende data verteenwoordig die sakgeld vir ‘n steekproef van tieners. 150; 300; 250; 270; 130; 80; 700; 500; 200; 220; 110; 320; 420; 140.Wat is die standaard afwyking?
3. Gestel ‘n datastel gee die gewig van 50 katte by ‘n skou.
   1. Wanneer word die data gesien as ‘n populasie?
   2. Wanneer word die data gesien as ‘n steekproef?
4. Gestel ‘n datastel gee die resultate van 20 studente in ‘n klas.
   1. Wanneer word die data gesien as ‘n populasie?
   2. Wanneer word die data gesien as ‘n steekproef?