<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Koördinaatmeetkunde

Die vergelyking van 'n lyn tussen twee punte

Khan akademie video oor punt-helling en standaard vorm

Daar is verskeie gegewens en metodes wat dit moontlik maak om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal. Een so 'n metode word gebruik wanneer twee punte byvoorbeeld gegee word.

Aanvaar die twee punte is onderskeidelik ( x 1 ; y 1 ) en ( x 2 ; y 2 ) . Ons weet ook die algemene vorm vir die vergelyking van 'n reguit lyn is:

y = m x + c

Die vergelyking van 'n lyn wat deur hierdie twee punte gaan, kan eers verkry word as ons die waardes van m (die gradiënt van die lyn) en c (die y -afsnit van die lyn) het. Gevolglik is die vergelyking:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

waar ( x 1 ; y 1 ) die koördinate van die gegewe punte is.

Die tweede vergelyking van 'n reguit lyn

'n Stel gelyktydige vergelykings kan soos volg geskryf word:

y 1 = m x 1 + c y 2 = m x 2 + c

Ons het nou twee vergelykings en twee onbekendes, naamlik m en c .

y 2 - y 1 = m x 2 - m x 1 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 y 1 = m x 1 + c c = y 1 - m x 1

Nou, om dinge bietjie makliker te maak, vervang [link] in [link] :

y = m x + c = m x + ( y 1 - m x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 )

Indien jy gevra word om die vergelyking van 'n lyn te bepaal wat deur twee punte gaan, gebruik:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1

om m te bereken. Gebruik dan:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

om die vergelyking te bepaal.

Byvoorbeeld, die vergelyking van 'n reguit lyn deur ( - 1 ; 1 ) en ( 2 ; 2 ) word verkry deur eers m te bereken:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2 - 1 2 - ( - 1 ) = 1 3

Hierdie waarde word dan vervang in:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

om sodoende die volgende te verkry:

y - y 1 = 1 3 ( x - x 1 ) .

Vervang nou ( - 1 ; 1 ) om te kry dat:

y - ( 1 ) = 1 3 ( x - ( - 1 ) ) y - 1 = 1 3 x + 1 3 y = 1 3 x + 1 3 + 1 y = 1 3 x + 4 3

So, y = 1 3 x + 4 3 gaan deur ( - 1 ; 1 ) en ( 2 ; 2 ) .

Bepaal die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur die punte ( - 3 ; 2 ) en ( 5 ; 8 ) gaan.

  1. ( x 1 ; y 1 ) = ( - 3 ; 2 ) ( x 2 ; y 2 ) = ( 5 ; 8 )
  2. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 8 - 2 5 - ( - 3 ) = 6 5 + 3 = 6 8 = 3 4
  3. y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - ( 2 ) = 3 4 ( x - ( - 3 ) ) y = 3 4 ( x + 3 ) + 2 = 3 4 x + 3 4 · 3 + 2 = 3 4 x + 9 4 + 8 4 = 3 4 x + 17 4
  4. Die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur ( - 3 ; 2 ) en ( 5 ; 8 ) gaan, is y = 3 4 x + 17 4 .

Vergelyking van 'n lyn parallel aan, of loodreg op, 'n ander lyn, gegee een punt

Nog 'n metode om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal, kan gebruik word, gegee 'n punt op die lyn se koördinate, ( x 1 ; y 1 ) , en wanneer daar uitdruklik gesê word die lyn is loodreg op, of parallel aan, 'n ander lyn. Indien die vergelykings van die onbekende en gegewe lyne onderskeidelik y = m x + c en y = m 0 x + c 0 is, weet ons die volgende:

Indien die lyne parallel sou wees, dan is m = m 0 Indien die lyne loodreg sou wees, dan is m × m 0 = - 1

Sodra ons 'n waarde vir m bepaal het, kan ons hierdie waarde gebruik tesame met:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

om die vergelyking van die lyn te bepaal.

Byvoorbeeld, bepaal die vergelyking van 'n lyn wat parallel is aan y = 2 x - 1 en wat deur die punt ( - 1 ; 1 ) gaan.

Eerstens kry ons vir m , die gradiënt van die lyn. Aangesien dié lyn parallel aan y = 2 x - 1 is, weet ons dat:

m = 2

Die vergelyking van die lyn word gevind deur m en ( - 1 ; 1 ) te vervang in:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - 1 = 2 ( x - ( - 1 ) y - 1 = 2 ( x + 1 ) y - 1 = 2 x + 2 y = 2 x + 2 + 1 y = 2 x + 3
Die vergelyking van 'n lyn wat deur ( - 1 ; 1 ) gaan en parallel is aan y = 2 x - 1 , is y = 2 x + 3 . Hier kan duidelik gesien word dat die twee lyne parallel is. Jy kan toets deur om die loodregte afstand tussen die twee lyne by verskillende punte te meet met jou liniaal.

Hellingshoek

(a) 'n Lyn maak 'n hoek θ met die x -as. (b) Die hoek is afhanklik van die gradiënt. As m f die gradiënt van f , en m g die gradiënt van g is, dan is m f > m g en θ f > θ g .

In [link] (a), sien ons dat die lyn 'n hoek θ maak met die x -as. Hierdie hoek staan bekend as die hellingshoek van die lyn en is soms van belang.

Eerstens sien ons dat, soos die gradiënt verander, verander die waarde van θ ( [link] (b)). Ons verwag dus dat daar 'n verwandskap bestaan tussen die hellingshoek van 'n lyn en die gradiënt. Ons weet ook dat die gradiënt 'n verhouding van verandering in die y -rigting tot verandering in die x -rigting is.

m = Δ y Δ x

In [link] (a) sien ons egter:

tan θ = Δ y Δ x m = tan θ

Byvoorbeeld, om die hellingshoek van die lyn y = x te bepaal, weet ons dat m = 1

tan θ = 1 θ = 45

Koördinaatmeetkunde

  1. Bepaal die vergelykings van die volgende lyne.
    1. deur punte ( - 1 ; 3 ) en ( 1 ; 4 )
    2. deur punte ( 7 ; - 3 ) en ( 0 ; 4 )
    3. parallel aan y = 1 2 x + 3 en deur ( - 1 ; 3 )
    4. loodreg op y = - 1 2 x + 3 en deur ( - 1 ; 2 )
    5. loodreg op 2 y + x = 6 en deur die oorsprong
  2. Bepaal die hellingshoek van die volgende lyne.
    1. y = 2 x - 3
    2. y = 1 3 x - 7
    3. 4 y = 3 x + 8
    4. y = - 2 3 x + 3 (Wenk: as m negatief is, sal θ in die tweede kwadrant wees)
    5. 3 y + x - 3 = 0
  3. Wys dat die lyn y = k parallel is aan die x-as vir enige konstante k . (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn 0 is.)
  4. Wys dat die lyn x = k parallel is aan die y-as vir enige konstante k . (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn 90 is.)

Questions & Answers

a perfect square v²+2v+_
Dearan Reply
kkk nice
Abdirahman Reply
algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
Kim Reply
or infinite solutions?
Kim
y=10×
Embra Reply
if |A| not equal to 0 and order of A is n prove that adj (adj A = |A|
Nancy Reply
rolling four fair dice and getting an even number an all four dice
ramon Reply
Kristine 2*2*2=8
Bridget Reply
Differences Between Laspeyres and Paasche Indices
Emedobi Reply
No. 7x -4y is simplified from 4x + (3y + 3x) -7y
Mary Reply
is it 3×y ?
Joan Reply
J, combine like terms 7x-4y
Bridget Reply
im not good at math so would this help me
Rachael Reply
how did I we'll learn this
Noor Reply
f(x)= 2|x+5| find f(-6)
Prince Reply
f(n)= 2n + 1
Samantha Reply
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask