<< Chapter < Page Chapter >> Page >

Koördinaatmeetkunde

Die vergelyking van 'n lyn tussen twee punte

Khan akademie video oor punt-helling en standaard vorm

Daar is verskeie gegewens en metodes wat dit moontlik maak om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal. Een so 'n metode word gebruik wanneer twee punte byvoorbeeld gegee word.

Aanvaar die twee punte is onderskeidelik ( x 1 ; y 1 ) en ( x 2 ; y 2 ) . Ons weet ook die algemene vorm vir die vergelyking van 'n reguit lyn is:

y = m x + c

Die vergelyking van 'n lyn wat deur hierdie twee punte gaan, kan eers verkry word as ons die waardes van m (die gradiënt van die lyn) en c (die y -afsnit van die lyn) het. Gevolglik is die vergelyking:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

waar ( x 1 ; y 1 ) die koördinate van die gegewe punte is.

Die tweede vergelyking van 'n reguit lyn

'n Stel gelyktydige vergelykings kan soos volg geskryf word:

y 1 = m x 1 + c y 2 = m x 2 + c

Ons het nou twee vergelykings en twee onbekendes, naamlik m en c .

y 2 - y 1 = m x 2 - m x 1 m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 y 1 = m x 1 + c c = y 1 - m x 1

Nou, om dinge bietjie makliker te maak, vervang [link] in [link] :

y = m x + c = m x + ( y 1 - m x 1 ) y - y 1 = m ( x - x 1 )

Indien jy gevra word om die vergelyking van 'n lyn te bepaal wat deur twee punte gaan, gebruik:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1

om m te bereken. Gebruik dan:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

om die vergelyking te bepaal.

Byvoorbeeld, die vergelyking van 'n reguit lyn deur ( - 1 ; 1 ) en ( 2 ; 2 ) word verkry deur eers m te bereken:

m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 2 - 1 2 - ( - 1 ) = 1 3

Hierdie waarde word dan vervang in:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

om sodoende die volgende te verkry:

y - y 1 = 1 3 ( x - x 1 ) .

Vervang nou ( - 1 ; 1 ) om te kry dat:

y - ( 1 ) = 1 3 ( x - ( - 1 ) ) y - 1 = 1 3 x + 1 3 y = 1 3 x + 1 3 + 1 y = 1 3 x + 4 3

So, y = 1 3 x + 4 3 gaan deur ( - 1 ; 1 ) en ( 2 ; 2 ) .

Bepaal die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur die punte ( - 3 ; 2 ) en ( 5 ; 8 ) gaan.

  1. ( x 1 ; y 1 ) = ( - 3 ; 2 ) ( x 2 ; y 2 ) = ( 5 ; 8 )
  2. m = y 2 - y 1 x 2 - x 1 = 8 - 2 5 - ( - 3 ) = 6 5 + 3 = 6 8 = 3 4
  3. y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - ( 2 ) = 3 4 ( x - ( - 3 ) ) y = 3 4 ( x + 3 ) + 2 = 3 4 x + 3 4 · 3 + 2 = 3 4 x + 9 4 + 8 4 = 3 4 x + 17 4
  4. Die vergelyking van 'n reguit lyn wat deur ( - 3 ; 2 ) en ( 5 ; 8 ) gaan, is y = 3 4 x + 17 4 .

Vergelyking van 'n lyn parallel aan, of loodreg op, 'n ander lyn, gegee een punt

Nog 'n metode om die vergelyking van 'n reguit lyn te bepaal, kan gebruik word, gegee 'n punt op die lyn se koördinate, ( x 1 ; y 1 ) , en wanneer daar uitdruklik gesê word die lyn is loodreg op, of parallel aan, 'n ander lyn. Indien die vergelykings van die onbekende en gegewe lyne onderskeidelik y = m x + c en y = m 0 x + c 0 is, weet ons die volgende:

Indien die lyne parallel sou wees, dan is m = m 0 Indien die lyne loodreg sou wees, dan is m × m 0 = - 1

Sodra ons 'n waarde vir m bepaal het, kan ons hierdie waarde gebruik tesame met:

y - y 1 = m ( x - x 1 )

om die vergelyking van die lyn te bepaal.

Byvoorbeeld, bepaal die vergelyking van 'n lyn wat parallel is aan y = 2 x - 1 en wat deur die punt ( - 1 ; 1 ) gaan.

Eerstens kry ons vir m , die gradiënt van die lyn. Aangesien dié lyn parallel aan y = 2 x - 1 is, weet ons dat:

m = 2

Die vergelyking van die lyn word gevind deur m en ( - 1 ; 1 ) te vervang in:

y - y 1 = m ( x - x 1 ) y - 1 = 2 ( x - ( - 1 ) y - 1 = 2 ( x + 1 ) y - 1 = 2 x + 2 y = 2 x + 2 + 1 y = 2 x + 3
Die vergelyking van 'n lyn wat deur ( - 1 ; 1 ) gaan en parallel is aan y = 2 x - 1 , is y = 2 x + 3 . Hier kan duidelik gesien word dat die twee lyne parallel is. Jy kan toets deur om die loodregte afstand tussen die twee lyne by verskillende punte te meet met jou liniaal.

Hellingshoek

(a) 'n Lyn maak 'n hoek θ met die x -as. (b) Die hoek is afhanklik van die gradiënt. As m f die gradiënt van f , en m g die gradiënt van g is, dan is m f > m g en θ f > θ g .

In [link] (a), sien ons dat die lyn 'n hoek θ maak met die x -as. Hierdie hoek staan bekend as die hellingshoek van die lyn en is soms van belang.

Eerstens sien ons dat, soos die gradiënt verander, verander die waarde van θ ( [link] (b)). Ons verwag dus dat daar 'n verwandskap bestaan tussen die hellingshoek van 'n lyn en die gradiënt. Ons weet ook dat die gradiënt 'n verhouding van verandering in die y -rigting tot verandering in die x -rigting is.

m = Δ y Δ x

In [link] (a) sien ons egter:

tan θ = Δ y Δ x m = tan θ

Byvoorbeeld, om die hellingshoek van die lyn y = x te bepaal, weet ons dat m = 1

tan θ = 1 θ = 45

Koördinaatmeetkunde

  1. Bepaal die vergelykings van die volgende lyne.
    1. deur punte ( - 1 ; 3 ) en ( 1 ; 4 )
    2. deur punte ( 7 ; - 3 ) en ( 0 ; 4 )
    3. parallel aan y = 1 2 x + 3 en deur ( - 1 ; 3 )
    4. loodreg op y = - 1 2 x + 3 en deur ( - 1 ; 2 )
    5. loodreg op 2 y + x = 6 en deur die oorsprong
  2. Bepaal die hellingshoek van die volgende lyne.
    1. y = 2 x - 3
    2. y = 1 3 x - 7
    3. 4 y = 3 x + 8
    4. y = - 2 3 x + 3 (Wenk: as m negatief is, sal θ in die tweede kwadrant wees)
    5. 3 y + x - 3 = 0
  3. Wys dat die lyn y = k parallel is aan die x-as vir enige konstante k . (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn 0 is.)
  4. Wys dat die lyn x = k parallel is aan die y-as vir enige konstante k . (Wenk: Wys dat die hellingshoek van die lyn 90 is.)

Questions & Answers

how to know photocatalytic properties of tio2 nanoparticles...what to do now
Akash Reply
it is a goid question and i want to know the answer as well
Maciej
Do somebody tell me a best nano engineering book for beginners?
s. Reply
what is fullerene does it is used to make bukky balls
Devang Reply
are you nano engineer ?
s.
fullerene is a bucky ball aka Carbon 60 molecule. It was name by the architect Fuller. He design the geodesic dome. it resembles a soccer ball.
Tarell
what is the actual application of fullerenes nowadays?
Damian
That is a great question Damian. best way to answer that question is to Google it. there are hundreds of applications for buck minister fullerenes, from medical to aerospace. you can also find plenty of research papers that will give you great detail on the potential applications of fullerenes.
Tarell
what is the Synthesis, properties,and applications of carbon nano chemistry
Abhijith Reply
Mostly, they use nano carbon for electronics and for materials to be strengthened.
Virgil
is Bucky paper clear?
CYNTHIA
so some one know about replacing silicon atom with phosphorous in semiconductors device?
s. Reply
Yeah, it is a pain to say the least. You basically have to heat the substarte up to around 1000 degrees celcius then pass phosphene gas over top of it, which is explosive and toxic by the way, under very low pressure.
Harper
Do you know which machine is used to that process?
s.
how to fabricate graphene ink ?
SUYASH Reply
for screen printed electrodes ?
SUYASH
What is lattice structure?
s. Reply
of graphene you mean?
Ebrahim
or in general
Ebrahim
in general
s.
Graphene has a hexagonal structure
tahir
On having this app for quite a bit time, Haven't realised there's a chat room in it.
Cied
what is biological synthesis of nanoparticles
Sanket Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
Privacy Information Security Software Version 1.1a
Good
Got questions? Join the online conversation and get instant answers!
QuizOver.com Reply

Get the best Algebra and trigonometry course in your pocket!





Source:  OpenStax, Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11). OpenStax CNX. Sep 20, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11339/1.4
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Siyavula textbooks: wiskunde (graad 11)' conversation and receive update notifications?

Ask