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Una introducción a las propiedades generales de las series de Fourier.

Empezaremos por refrescar su memoria sobre las ecuaciones básicas de las series de Fourier :

f t n c n ω 0 n t
c n 1 T t 0 T f t ω 0 n t
Deje · describen la transformación de f t a los coeficientes de Fourier f t n n c n · grafica funciones con valores complejos a secuencias de números complejos .

Linealidad

· es una transformación linear .

Si f t c n y g t d n . Entonces α α α f t α c n y f t g t c n d n

Muy fácil, nada mas es la linealidad del integral.

f t g t n n t 0 T f t g t ω 0 n t n n 1 T t 0 T f t ω 0 n t 1 T t 0 T g t ω 0 n t n n c n d n c n d n

Desplazamiento

Desplazamiento en el tiempo es igual a un desplazamiento angular de los coeficientes de Fourier

f t t 0 ω 0 n t 0 c n si c n c n c n , entonces ω 0 n t 0 c n ω 0 n t 0 c n c n ω 0 t 0 n c n ω 0 t 0 n

f t t 0 n n 1 T t 0 T f t t 0 ω 0 n t n n 1 T t t 0 T t 0 f t t 0 ω 0 n t t 0 ω 0 n t 0 n n 1 T t t 0 T t 0 f t ~ ω 0 n t ~ ω 0 n t 0 n n ω 0 n t ~ c n

La relaciÓN de parseval

t 0 T f t 2 T n c n 2
La relación de Parseval nos permite calcular la engría de la señal de sus series de Fourier.
Parseval nos dice que las series de Fourier grafican maps L 0 T 2 a l 2 .

¿Pará f t poder tener“energía finita,”que es lo que c n hace cuando n ?

c n 2 para f t tener energía finita.

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¿Sí n n 0 c n 1 n , es f L 0 T 2 ?

Si, por que c n 2 1 n 2 , la cual se puede sumar.

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Ahora ,¿sí n n 0 c n 1 n , es f L 0 T 2 ?

No, por que c n 2 1 n , la cual no se puede sumar.

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El radio de descomposición de una serie de fourier determina si f t tiene energía finita .

DiferenciaciÓN en el dominio de fourier

f t c n t f t n ω 0 c n

Ya que

f t n c n ω 0 n t
entonces
t f t n c n t ω 0 n t n c n ω 0 n ω 0 n t
Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas f t y acentúa las frecuencias altas. Remueve rasgos generales y acentúaáreas con variaciones básicas.
Una manera común para medir matemáticamente que la suavidad de la función f t es el ver cuantas derivadas tienen energía finita.
Esto se hace al observar los coeficientes de fourier de una señal, específicamente el que tan rápido se descomponen cuando n .Si f t c n y c n tiene la forma 1 n k , entonces t m f t n ω 0 m c n tiene la forma n m n k .Entonces para que la m th derivada tenga energía finita, necesitamos n n m n k 2 por lo tanto n m n k se descompone mas rápido que 1 n lo cual implica que 2 k 2 m 1 o k 2 m 1 2 El radio de descomposición de las series de fourier determina la suavidad.

IntegraciÓN en el dominio de fourier

Si

f t c n
entonces
τ t f τ 1 ω 0 n c n
Si c 0 0 , esta expresión no tiene ningún sentido.

Integración acentúa frecuencias bajas y atenúa frecuencias altas. Integradores muestran las cosas generales de las señales y suprimen variaciones de corto plazo (lo cual es ruido en muchos casos). Integradores son mejores que diferenciadores.

MultiplicaciÓN de seÑAles

Dado a una señal f t con coeficientes de Fourier c n y una señal g t con coeficientes d n , podemos definir una nueva señal como, y t , donde y t f t g t . Descubrimos que la representación de series de Fourier de y t , e n , es tal que e n k c k d n - k . Esto es para decir que la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución discreta en el dominio de la frecuencia. La prueba es la siguiente

e n 1 T t 0 T f t g t ω 0 n t 1 T t 0 T k c k ω 0 k t g t ω 0 n t k c k 1 T t 0 T g t ω 0 n k t k c k d n - k

Questions & Answers

what is mutation
Janga Reply
what is a cell
Sifune Reply
how is urine form
Sifune
what is antagonism?
mahase Reply
classification of plants, gymnosperm features.
Linsy Reply
what is the features of gymnosperm
Linsy
how many types of solid did we have
Samuel Reply
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Samuel
What is Atoms
Daprince Reply
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Merolyn
what's bulbourethral gland
Eduek Reply
urine is formed in the nephron of the renal medulla in the kidney. It starts from filtration, then selective reabsorption and finally secretion
onuoha Reply
State the evolution relation and relevance between endoplasmic reticulum and cytoskeleton as it relates to cell.
Jeremiah
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Konadu Reply
how is urine formed in human
Konadu
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Rahma
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Pelagie Reply
what is the causative agent of malaria
Diamond
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Naomi
Malaria is cause by female anopheles mosquito
Isaac
Malaria is caused by plasmodium Female anopheles mosquitoe is d carrier
Olalekan
a canal is more needed in a root but a cavity is a bad effect
Commander
what are pathogens
Don Reply
In biology, a pathogen (Greek: πάθος pathos "suffering", "passion" and -γενής -genēs "producer of") in the oldest and broadest sense, is anything that can produce disease. A pathogen may also be referred to as an infectious agent, or simply a germ. The term pathogen came into use in the 1880s.[1][2
Zainab
A virus
Commander
Definition of respiration
Muhsin Reply
respiration is the process in which we breath in oxygen and breath out carbon dioxide
Achor
how are lungs work
Commander
where does digestion begins
Achiri Reply
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EZEKIEL
what are the functions of follicle stimulating harmones?
Rashima Reply
stimulates the follicle to release the mature ovum into the oviduct
Davonte
what are the functions of Endocrine and pituitary gland
Chinaza
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Achor
while pituitary gland is an example of endocrine system and it's found in the Brain
Achor
what's biology?
Egbodo Reply
Biology is the study of living organisms, divided into many specialized field that cover their morphology, physiology,anatomy, behaviour,origin and distribution.
Lisah
biology is the study of life.
Alfreda
Biology is the study of how living organisms live and survive in a specific environment
Sifune
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Jobilize.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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