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Una introducción a las propiedades generales de las series de Fourier.

Empezaremos por refrescar su memoria sobre las ecuaciones básicas de las series de Fourier :

f t n c n ω 0 n t
c n 1 T t 0 T f t ω 0 n t
Deje · describen la transformación de f t a los coeficientes de Fourier f t n n c n · grafica funciones con valores complejos a secuencias de números complejos .


· es una transformación linear .

Si f t c n y g t d n . Entonces α α α f t α c n y f t g t c n d n

Muy fácil, nada mas es la linealidad del integral.

f t g t n n t 0 T f t g t ω 0 n t n n 1 T t 0 T f t ω 0 n t 1 T t 0 T g t ω 0 n t n n c n d n c n d n


Desplazamiento en el tiempo es igual a un desplazamiento angular de los coeficientes de Fourier

f t t 0 ω 0 n t 0 c n si c n c n c n , entonces ω 0 n t 0 c n ω 0 n t 0 c n c n ω 0 t 0 n c n ω 0 t 0 n

f t t 0 n n 1 T t 0 T f t t 0 ω 0 n t n n 1 T t t 0 T t 0 f t t 0 ω 0 n t t 0 ω 0 n t 0 n n 1 T t t 0 T t 0 f t ~ ω 0 n t ~ ω 0 n t 0 n n ω 0 n t ~ c n

La relaciÓN de parseval

t 0 T f t 2 T n c n 2
La relación de Parseval nos permite calcular la engría de la señal de sus series de Fourier.
Parseval nos dice que las series de Fourier grafican maps L 0 T 2 a l 2 .

¿Pará f t poder tener“energía finita,”que es lo que c n hace cuando n ?

c n 2 para f t tener energía finita.

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¿Sí n n 0 c n 1 n , es f L 0 T 2 ?

Si, por que c n 2 1 n 2 , la cual se puede sumar.

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Ahora ,¿sí n n 0 c n 1 n , es f L 0 T 2 ?

No, por que c n 2 1 n , la cual no se puede sumar.

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El radio de descomposición de una serie de fourier determina si f t tiene energía finita .

DiferenciaciÓN en el dominio de fourier

f t c n t f t n ω 0 c n

Ya que

f t n c n ω 0 n t
t f t n c n t ω 0 n t n c n ω 0 n ω 0 n t
Un diferenciador atenúa las frecuencias bajas f t y acentúa las frecuencias altas. Remueve rasgos generales y acentúaáreas con variaciones básicas.
Una manera común para medir matemáticamente que la suavidad de la función f t es el ver cuantas derivadas tienen energía finita.
Esto se hace al observar los coeficientes de fourier de una señal, específicamente el que tan rápido se descomponen cuando n .Si f t c n y c n tiene la forma 1 n k , entonces t m f t n ω 0 m c n tiene la forma n m n k .Entonces para que la m th derivada tenga energía finita, necesitamos n n m n k 2 por lo tanto n m n k se descompone mas rápido que 1 n lo cual implica que 2 k 2 m 1 o k 2 m 1 2 El radio de descomposición de las series de fourier determina la suavidad.

IntegraciÓN en el dominio de fourier


f t c n
τ t f τ 1 ω 0 n c n
Si c 0 0 , esta expresión no tiene ningún sentido.

Integración acentúa frecuencias bajas y atenúa frecuencias altas. Integradores muestran las cosas generales de las señales y suprimen variaciones de corto plazo (lo cual es ruido en muchos casos). Integradores son mejores que diferenciadores.

MultiplicaciÓN de seÑAles

Dado a una señal f t con coeficientes de Fourier c n y una señal g t con coeficientes d n , podemos definir una nueva señal como, y t , donde y t f t g t . Descubrimos que la representación de series de Fourier de y t , e n , es tal que e n k c k d n - k . Esto es para decir que la multiplicación de señales en el dominio del tiempo es equivalente a la convolución discreta en el dominio de la frecuencia. La prueba es la siguiente

e n 1 T t 0 T f t g t ω 0 n t 1 T t 0 T k c k ω 0 k t g t ω 0 n t k c k 1 T t 0 T g t ω 0 n k t k c k d n - k

Questions & Answers

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s. Reply
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s. Reply
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s. Reply
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Sanket Reply
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Himanshu Reply
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I'm interested in Nanotube
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
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Ali Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
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QuizOver.com Reply

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Source:  OpenStax, Señales y sistemas. OpenStax CNX. Sep 28, 2006 Download for free at http://cnx.org/content/col10373/1.2
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