6.8 Convergencia de las series de fourier

IntroducciÓN

Antes de ver este módulo, esperamos que usted este completamente convencido que cualquier función periódica $f(t)$ , se puede representar como una suma de senosoidales complejos . Si usted no lo esta, intente ver la sección de generalidades de eigenfunciones o de eigenfunciones de los sistemas LTI . Hemos demostrado que podemos representar la señal como una suma de exponenciales usando las ecuaciones de las series de Fourier mostradas aquí:

Comprendiendo la verdad

Formulando nuestra pregunta matemáticamente, deje $$\frac{d f_N(t)}{d }=\sum_{n=-N}^N c_{n}e^{i{\omega }_{0}nt}$$ donde $c_n$ es igual a los coeficientes de Fourier, $f(t)$ . (vea ).

$\frac{d f_N(t)}{d }$ es la“reconstrucción parcial”de $f(t)$ usando los primeros $2N+1$ coeficientes de Fourier. $\frac{d f_N(t)}{d }$ se aproxima a $f(t)$ , con la aproximación mejorando cuando $N$ se vuelve grande. Asíque, podemos pensar que el conjunto $\{\forall N, N=\{0, 1, \dots \}()\colon \frac{d f_N(t)}{d }\}()$ es una secuencia de funciones , cada una aproximando $f(t)$ mejor que la anterior.

La pregunta se convierte en ,¿síesta secuencia converge a $f(t)$ ?¿ $\frac{d f_N(t)}{d }\to f(t)$ asi como a $N\to$∞ ? Trataremos de responder estas preguntas al ver la convergencia de dos maneras diferentes:

• Viendo la energía de la señal de error: $$e_N(t)=f(t)-\frac{d f_N(t)}{d }$$
• Viendo el $\lim_{N\to }N\to$∞ f N t en cada punto y comparándolo con $f(t)$ .

Primer mÉTodo

Sea $e_N(t)$ la diferencia (i.e. error) entre la señal $f(t)$ y su reconstrucción parcial $\frac{d f_N(t)}{d }$

Segundo mÉTodo

El hecho de que $e_N\to 0$ no nos dice nada sobre que $f(t)$ y $\lim_{N\to }N\to$∞ f N t sean iguales en cierto punto. Tomemos las siguientes funciones como un ejemplo:

Dadas estas dos funciones $f(t)$ y $g(t)$ , podemos observar que para todo $t$ , $f(t)\neq g(t)$ , pero $$\int_0^T \left|f(t)-g(t)\right|^2\,d t=0$$ De esto podemos derivar las siguientes relaciones: $$\mathrm{Convergencia\; de\; energía}\neq \mathrm{convergencia\; de\; punto\; por\; punto}$$ $$\mathrm{Convergencia\; de\; punto\; por\; punto}\implies {\mathrm{convergencia\; en\; L}}^2(\left[0 , T\right]())$$ Sin embargo, lo contrario de la proposicióno es cierto.

Resulta que si $f(t)$ tiene una discontinuidad (como se puede observar en la figura de $g(t)$ ) en $t_0$ , entonces $$f(t_0)\neq \lim_{N\to }N\to$$∞ f N t 0 Mientras $f(t)$ tenga algunas de las condiciones, entonces $$f(t^{\prime })=\lim_{N\to }N\to$$∞ f N t ′ si $f(t)$ es continua en $t=t^{\prime }$ .