Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng  (Page 2/3)

Các định thức:

Định nghĩa và các tính chất của định thức:

Cho hệ 2 phương trình tuyến tính

a11x1 + a12x2­ = k1 (1) (1.1)

a21x1 + a22x2­ = k2 (2)

Rút x2 từ phương trình (2) thế vào phương trình (1), giải được:

$x_1=\frac{a_{\text{22}}{k}_1-a_{\text{12}}{k}_2}{a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}-a_{\text{12}}{a}_{\text{21}}}$

Suy ra:

$x_2=\frac{a_{\text{11}}{k}_2-a_{\text{21}}{k}_1}{a_{\text{11}}{a}_{\text{22}}-a_{\text{12}}{a}_{\text{21}}}$

Biểu thức (a11a22 - a12a21) là giá trị định thức của ma trận hệ số A. Trong đó |A| là định thức.

$\begin{array}{cc}\mid A\mid & \mid \begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}\end{array}\mid \end{array}$

Giải phương trình (1.1) bằng phương pháp định thức ta có:

$\begin{array}{cc}{x}_1& \frac{\mid \begin{array}{cc}{k}_1& a_{\text{12}}\\ k_2& a_{\text{22}}\end{array}\mid }{\mid A\mid }\end{array}=\frac{a_{\text{22}}\text{.}{k}_1-a_{\text{12}}\text{.}{k}_2}{a_{\text{11}}\text{.}{a}_{\text{22}}-a_{\text{12}}\text{.}{a}_{\text{21}}}$ và $\begin{array}{cc}{x}_2& \frac{\mid \begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& k_1\\ a_{\text{21}}& k_2\end{array}\mid }{\mid A\mid }\end{array}=\frac{a_{\text{11}}\text{.}{k}_2-a_{\text{21}}\text{.}{k}_1}{a_{\text{11}}\text{.}{a}_{\text{22}}-a_{\text{12}}\text{.}{a}_{\text{21}}}$

• Tính chất của định thức:

a. Giá trị của định thức bằng 0 nếu:

- Tất cả các phần tử của hàng hoặc cột bằng 0.

- Các phần tử của 2 hàng (cột) tương ứng bằng nhau.

- Một hàng (cột) là tương ứng tỉ lệ của 1 hoặc nhiều hàng (cột).

b. Nếu ta đổi chổ 2 hàng của ma trận vuông A cho nhau ta được ma trận vuông B và có det(B) = - det(A).

c. Giá trị của định thức không thay đổi nếu:

- Tất cả các hàng và cột tương ứng đổi chổ cho nhau.

- Cộng thêm k vào 1 hàng (cột) thứ tự tương ứng với các phần tử của hàng (cột) đó.

d. Nếu tất cả các phần tử của hàng (cột) nhân với thừa số k, thì giá trị của định thức là được nhân bởi k.

e. Tích của các định thức bằng tích của từng định thức. | A.B.C| = |A| .|B| .|C|.

f. Định thức tổng khác tổng các định thức. |A + B - C| = |A| + |B| -|C|.

Định thức con và các phần phụ đại số.

Xét định thức:

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& a_{\text{13}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& a_{\text{23}}\\ a_{\text{31}}& a_{\text{32}}& a_{\text{33}}\end{array}\mid \end{array}$

Chọn trong định thức này k hàng, k cột bất kỳ với 1  k  n. Các phần tử nằm phía trên kể từ giao của hàng và cột đã chọn tạo thành một định thức cấp k, gọi là định thức con cấp k của A. Bỏ k hàng và k cột đã chọn, các phần tử còn lại tạo thành 1 định thức con bù của định thức A.

Phần phụ đại số ứng với phần tử aij của định thức A là định thức con bù có kèm theo dấu (-1)i+j.

$\begin{array}{cc}{A}_{\text{21}}& \end{array}(-1{)}^{2+1}\mid \begin{array}{cc}{a}_{\text{12}}& a_{\text{13}}\\ a_{\text{32}}& a_{\text{33}}\end{array}\mid =-\mid \begin{array}{cc}{a}_{\text{12}}& a_{\text{13}}\\ a_{\text{32}}& a_{\text{33}}\end{array}\mid$

Mối liên hệ giữa các định thức và phần phụ:

- Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng bằng định thức |A|.

- Tổng các tích của các phần tử theo hàng (cột) với phần phụ tương ứng trong hàng (cột) khác bằng 0.

Các phép tính ma trận.

Các ma trận bằng nhau:

Hai ma trận A và B được gọi là bằng nhau nếu tất cả các phần tử của ma trận A bằng tất cả các phần tử của ma trận B (aij = bịj $\forall$ i, j; i, j = 1, 2, .. n).

Phép cộng (trừ) ma trận.

Cộng (trừ) các ma trận phái có cùng kích thước m x n. Ví dụ: Có hai ma trận A[aij ]mn và B[bij ]mn thì tổng và hiệu của hai ma trận này là ma trận C[cij ]mn với cij = aij bij

Mở rộng: R = A + B + C +..... + N với rij = aij  bij cij  ... nij .

Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất giao hoán: A + B = B + A.

Phép cộng (trừ) ma trận có tính chất kết hợp: A + (B + C) = (A + B) + C.

Tích vô hướng của ma trận:

k.A = B. Trong đó: bij = k .aij $\forall$ i&j .

Tính giao hoán: k.A = A.k..

Tính phân phối: k (A + B) = k.A + k..B = (A + B) k.

(với A và B là các ma trận có cùng kích thước, k là 1 hằng số ).

Nhân các ma trận:

Phép nhân hai ma trận A.B = C. Nếu ma trận A có kích thước m x q và ma trận B có kích thước q x n thì ma trận tích C có kích thước m x n. Các phần tử cij của ma trận C là tổng các tích của các phần tử tương ứng với i hàng của ma trận A và j cột của ma trận B là: