Đại số ma trận ứng dụng trong giải tích mạng

Định nghĩa và các khái niệm cơ bản:

Kí hiệu ma trận:

Ma trận chữ nhật A kích thước m x n là 1 bảng gồm m hàng và n cột có dạng sau:

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{cccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{1n}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\mathrm{2n}}\\ \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}& \text{.}\text{.}\text{.}\\ a_{\mathrm{m1}}& a_{\mathrm{m2}}& \text{.}\text{.}\text{.}& a_{\text{mn}}\end{array}\mid \end{array}=\left[a_{ij}\right]$

Nếu m = 1 và n>1 thì A gọi là ma trận hàng hoặc vectơ hàng.

Ngược lại n = 1 và m>1 thì A gọi là ma trận cột hoặc vectơ cột.

Ví dụ: $A=\mid \begin{array}{c}2\\ 1\\ 3\end{array}\mid$ và $A=\mid \begin{array}{ccc}2& 3& 1\end{array}\mid$

Các dạng ma trận:

Ma trận vuông: Là ma trận có số hàng bằng số cột (m = n).

Ví dụ:

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& a_{\text{13}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& a_{\text{23}}\\ a_{\text{31}}& a_{\text{32}}& a_{\text{33}}\end{array}\mid \end{array}$

Ma trận tam giác trên: Là ma trận vuông mà các phần tử dưới đường chéo chính aị j của ma trận bằng 0 với i>j.

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}& a_{\text{13}}\\ 0& a_{\text{22}}& a_{\text{23}}\\ 0& 0& a_{\text{33}}\end{array}\mid \end{array}$

Ma trận tam giác dưới: Là ma trận vuông mà các phần tử trên đường chéo chính aịj của ma trận bằng 0 với i<j.

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& 0& 0\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}& 0\\ a_{\text{31}}& a_{\text{32}}& a_{\text{33}}\end{array}\mid \end{array}$

Ma trận đường chéo: Là ma trận vuông nếu tất cả các phần tử trên đường chéo chính khác 0, còn các phần tử khác ngoài đường chéo chính của ma trận bằng 0 (aịj = 0 với ).

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& 0& 0\\ 0& a_{\text{22}}& 0\\ 0& 0& a_{\text{33}}\end{array}\mid \end{array}$

Ma trận đơn vị: Là ma trận vuông mà tất cả các phần tử trên đường chéo chính của ma trận bằng 1 còn tất cả các phần tử khác bằng 0 (aij = 1 với i = j và aịj = 0 với ).

$\begin{array}{cc}U& \mid \begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\mid \end{array}$

Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử của ma trận bằng 0.

Ma trận chuyển vị: Là ma trận mà các phần tử aịj = aji (đổi hàng thành cột và ngược lại).

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{cc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{12}}\\ a_{\text{21}}& a_{\text{22}}\\ a_{\text{31}}& a_{\text{32}}\end{array}\mid \end{array}$ và $\begin{array}{cc}{A}^T& \mid \begin{array}{ccc}{a}_{\text{11}}& a_{\text{21}}& a_{\text{31}}\\ a_{\text{12}}& a_{\text{22}}& a_{\text{32}}\end{array}\mid \end{array}$

Cho ma trận A thì ma trận chuyển vị kí hiệu là At, AT hoặc A’

Ma trận đối xứng: Là ma trận vuông có các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính bằng nhau aịj = aji.

Ví dụ:

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{ccc}1& 5& 3\\ 5& 2& 6\\ 3& 6& 4\end{array}\mid \end{array}$

Chuyển vị ma trận đối xứng thì AT = A, nghĩa là ma trận không thay đổi.

Ma trận xiên - phản đối xứng: Là ma trận vuông có A = - AT. Các phần tử ngoài đường chéo chính tương ứng bằng giá trị đối của nó (aịj = - aji) và các phần tử trên đường chéo chính bằng 0.

Ví dụ:

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{ccc}0& 5& -3\\ -5& 0& 6\\ 3& -6& 0\end{array}\mid \end{array}$

Ma trận trực giao: Là ma trận có ma trận chuyển vị chính là nghịch đảo của nó. (AT .A = U = A .AT với A là ma trận vuông và các phần tử là số thực).

Ma trận phức liên hợp: Là ma trận nếu thế phần tử a + jb bởi a - jb thì ma trận mới A* là ma trận phức liên hợp.

Cho ma trận A thì ma trận phức liên hợp là A*

$A=\mid \begin{array}{cc}\mathrm{j3}& 5\\ 4+\mathrm{j2}& 1+\mathrm{j1}\end{array}\mid$ và $\begin{array}{cc}{A}^{}& \mid \begin{array}{cc}-\mathrm{j3}& 5\\ 4-\mathrm{j2}& 1-\mathrm{j1}\end{array}\mid \end{array}$

-Nếu tất cả các phần tử của A là thực, thì A = A*

-Nếu tất cả các phần tử của A là ảo, thì A = - A*.

Ma trận Hermitian (ma trận phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính là số thực còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức liên hợp, nghĩa là A = (A*)t.

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{cc}4& 2-\mathrm{j3}\\ 2+\mathrm{j3}& 5\end{array}\mid \end{array}$

Ma trận xiên - Hermitian (ma trận xiên - phức đối): Là ma trận vuông với các phần tử trên đường chéo chính bằng 0 hoặc toàn ảo còn các cặp phần tử đối xứng qua đường chéo chính là những số phức, tức A = - (A*)t.

$\begin{array}{cc}A& \mid \begin{array}{cc}0& 2-\mathrm{j3}\\ -2-\mathrm{j3}& 0\end{array}\mid \end{array}$

Nếu ma trận vuông phức liên hợp có (A*) t. A = U = A. (A*)t thì ma trận A được gọi là ma trận đơn vị. Nếu ma trận đơn vị A với các phần tử là số thực được gọi là ma trận trực giao.

Bảng 1.1: Các dạng ma trận.