<< Chapter < Page Chapter >> Page >

- c là vectơ chi phí (cT là chuyển vị của c)

- b là vectơ giới hạn các ràng buộc.

Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = và các biến số đều không âm.

min/max z = j = 1 n c j x j ( I ) j = 1 n a ij x j = b i ( i = 1,2, . . . ,m ) ( II ) x j 0 ( j = 1,2, . . . ,n ) ( III ) { alignl { stack { size 12{"min/max "z= Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } {c rSub { size 8{j} } x rSub { size 8{j} } } " " \( I \) } {} #alignl { stack { left lbrace Sum cSub { size 8{j=1} } cSup { size 8{n} } {a rSub { size 8{ ital "ij"} } x rSub { size 8{j} } } =b rSub { size 8{i} } " " \( i="1,2," "." "." "." ",m" \) " " \( "II" \) {} #right none left lbrace x rSub { size 8{j} }>= 0" " \( j="1,2," "." "." "." ",n" \) " " \( "III" \) {} # right no } } lbrace {}} } {} ( m n )

min/max z ( x ) = c T x ( I ) Ax = b ( II ) x 0 ( III ) { alignl { stack { size 12{"min/max "z \( x \) =c rSup { size 8{T} } x" " \( I \) } {} #alignl { stack { left lbrace ital "Ax"=b" " \( "II" \) {} #right none left lbrace x>= 0" " \( "III" \) {} # right no } } lbrace {}} } {} rang(A)=m

Người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc nhờ các quy tắc sau đây :

- Nếu gặp ràng buộc i có dạng  thì người ta cộng thêm vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i  0 để được dấu = .

- Nếu gặp ràng buộc i có dạng  thì người ta trừ vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i  0 để được dấu = .

Các biến phụ chỉ là những đại lượng giúp ta biến các ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, nó phải không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu nên không xuất hiện trong hàm mục tiêu.

- Nếu biến xj  0 thì ta đặt xj = -x’j với x’j  0 rồi thay vào bài toán.

- Nếu biến xj là tuỳ ý thì ta đặt  x j = x j ' x j ' ' size 12{x rSub { size 8{j} } = { {x}} sup { ' } rSub { size 8{j} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{j} } } {} với x j ' , { x j ' ' size 12{ { {x}} sup { ' } rSub { size 8{j} } " , {" ital {x}} sup { '' } rSub { size 8{j} } } {} đều  0 rồi thay vào bài toán.

- Trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm.

Dựa vào các phép biến đổi trên mà người ta có thể nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ có dấu = , vế phải và các biến số đều không âm.

Ví dụ :

Biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính sau đây về dạng chính tắc :

min z ( x ) = 2x 1 x 2 + 2x 3 + x 4 2x 5 x 1 2x 2 + x 3 + 2x 4 + x 5 7 x 2 + 2x 3 + x 4 1 2x 3 + x 4 + 3x 5 10 x 1 + x 2 2x 3 + x 4 = 20 x 1 , x 5 0 x 4 0 x 2 , x 3 tùy ý no { { { { { alignl { stack { size 12{"min"" "z \( x \) =2x rSub { size 8{1} } - x rSub { size 8{2} } +2x rSub { size 8{3} } +x rSub { size 8{4} } - 2x rSub { size 8{5} } } {} #alignl { stack { left lbrace alignl { stack {left lbrace x rSub { size 8{1} } - 2x rSub { size 8{2} } +x rSub { size 8{3} } +2x rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{5} }<= 7 {} # right none left lbrace x rSub { size 8{2} } +2x rSub { size 8{3} } +x rSub { size 8{4} }>= - 1 {} # right none left lbrace 2x rSub { size 8{3} } +x rSub { size 8{4} } +3x rSub { size 8{5} }>= "10" {} # right none left lbrace x rSub { size 8{1} } +x rSub { size 8{2} } - 2x rSub { size 8{3} } +x rSub { size 8{4} } ="20" {} #right no } } lbrace {} # right none left lbrace alignl { stack {left lbrace x rSub { size 8{1} } " , "x rSub { size 8{5} }>= 0 {} # right none left lbrace x rSub { size 8{4} }<= 0 {} # right none left lbrace x rSub { size 8{2} } " , "x rSub { size 8{3} } " tùy ý" {} #right no } } lbrace {} # right no } } lbrace {}} } {}

Bằng các thay thế :

x 4 = x 4 ' ( x 4 ' 0 ) x 2 = x 2 ' x 2 ' ' ( x 2 ' , x 2 ' ' 0 ) x 3 = x 3 ' x 3 ' ' ( x 3 ' , x 3 ' ' 0 ) alignl { stack { size 12{x rSub { size 8{4} } = - { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } " " \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} }>= 0 \) } {} # x rSub { size 8{2} } = { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } " " \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } , { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} }>= 0 \) {} # x rSub { size 8{3} } = { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } " " \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } , { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} }>= 0 \) {} } } {}

ta được :

min z ( x ) = 2x 1 ( x 2 ' x 2 ' ' ) + 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) x 4 ' 2x 5 x 1 2 ( x 2 ' x 2 ' ' ) + ( x 3 ' x 3 ' ' ) 2 x 4 ' + x 5 + x 6 = 7 ( x 2 ' x 2 ' ' ) + 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) + x 4 x 7 = 1 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) x 4 ' + 3x 5 x 8 = 10 x 1 + ( x 2 ' x 2 ' ' ) 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) x 4 ' = 20 x 1 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 , x 2 ' , x 2 ' ' , x 3 ' , x 3 ' ' , x 4 ' 0 { { { alignl { stack { size 12{"min"" "z \( x \) =2x rSub { size 8{1} } - \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) +2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } - 2x rSub { size 8{5} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } - 2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) + \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - 2 { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{5} } +x rSub { size 8{6} } =7 {} #right none left lbrace \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) +2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) +x rSub { size 8{4} } - x rSub { size 8{7} } = - 1 {} # right none left lbrace 2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } +3x rSub { size 8{5} } - x rSub { size 8{8} } ="10" {} #right none left lbrace x rSub { size 8{1} } + \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) - 2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } ="20" {} # right no } } lbrace {} #x rSub { size 8{1} } " , "x rSub { size 8{5} } ,x rSub { size 8{6} } ,x rSub { size 8{7} } ,x rSub { size 8{8} } , { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } , { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } , { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } , { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } , { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} }>= 0 {} } } {}

hay :

min z ( x ) = 2x 1 ( x 2 ' x 2 ' ' ) + 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) x 4 ' 2x 5 x 1 2 ( x 2 ' x 2 ' ' ) + ( x 3 ' x 3 ' ' ) 2 x 4 ' + x 5 + x 6 = 7 ( x 2 ' x 2 ' ' ) 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) x 4 + x 7 = 1 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) x 4 ' + 3x 5 x 8 = 10 x 1 + ( x 2 ' x 2 ' ' ) 2 ( x 3 ' x 3 ' ' ) x 4 ' = 20 x 1 , x 5 , x 6 , x 7 , x 8 , x 2 ' , x 2 ' ' , x 3 ' , x 3 ' ' , x 4 ' 0 { { { alignl { stack { size 12{"min"" "z \( x \) =2x rSub { size 8{1} } - \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) +2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } - 2x rSub { size 8{5} } } {} #alignl { stack { left lbrace x rSub { size 8{1} } - 2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) + \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - 2 { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{5} } +x rSub { size 8{6} } =7 {} #right none left lbrace - \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) - 2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - x rSub { size 8{4} } +x rSub { size 8{7} } =1 {} # right none left lbrace 2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } +3x rSub { size 8{5} } - x rSub { size 8{8} } ="10" {} #right none left lbrace x rSub { size 8{1} } + \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } \) - 2 \( { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } - { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } \) - { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} } ="20" {} # right no } } lbrace {} #x rSub { size 8{1} } ,x rSub { size 8{5} } ,x rSub { size 8{6} } ,x rSub { size 8{7} } ,x rSub { size 8{8} } , { {x}} sup { ' } rSub { size 8{2} } , { {x}} sup { '' } rSub { size 8{2} } , { {x}} sup { ' } rSub { size 8{3} } , { {x}} sup { '' } rSub { size 8{3} } , { {x}} sup { ' } rSub { size 8{4} }>= 0 {} } } {}

Phương án

Xét bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc :

min/max z ( x ) = c T x Ax = b x 0 { alignl { stack { size 12{"min/max "z \( x \) =c rSup { size 8{T} } x" "} {} #alignl { stack { left lbrace ital "Ax"=b" " {} #right none left lbrace x>= 0" " {} # right no } } lbrace {}} } {} (P)

  • x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án của (P) khi và chỉ khi Ax = b.
  • x=[x1 x2 ... xn] T là một phương án khả thi của (P) khi và chỉ khi Ax = b và x  0 .
  • Một phương án tối ưu của (P) là một phương án khả thi của (P) mà giá trị của hàm mục tiêu tương ứng đạt min/max.

Đặc điểm của tập hợp các phương án

Khái niệm lồi và các tính chất

a- Tổ hợp lồi

- Cho m điểm xi trong không gian Rn . Điểm x được gọi là tổ hợp lồi của các điểm xi nếu : x = i = 1 m α i x i = α 1 x 1 + α 2 x 2 + . . . + α m x m α 1 , α 2 , . . . . , α n 0 α 1 + α 2 + . . . . + α n = 1 alignl { stack { size 12{x= Sum cSub { size 8{i=1} } cSup { size 8{m} } {α rSub { size 8{i} } x rSup { size 8{i} } } = α rSub { size 8{1} } x rSup { size 8{1} } +α rSub { size 8{2} } x rSup { size 8{2} } + "." "." "." +α rSub { size 8{m} } x rSup { size 8{m} } " "} {} #α rSub { size 8{1} } ,α rSub { size 8{2} } , "." "." "." "." ,α rSub { size 8{n} }>= "0 "α rSub { size 8{1} } +α rSub { size 8{2} } + "." "." "." "." +α rSub { size 8{n} } =1 {} } } {}

- Khi x là tổ hợp lồi của hai điểm x1, x2 người ta thường viết :

x=x1+(1-)x2 (01)

Nếu 0<<1 thì x được gọi là tổ hợp lồi thật sự.

- Ðoạn thẳng

Tập hợp tất cả các tổ tổ hợp lồi của 2 điểm bất kỳ A, B Rn được gọi là đoạn thẳng nối A và B . Ký hiệu :

AB= {x = A + (1-)B với [0,1] }

Get Jobilize Job Search Mobile App in your pocket Now!

Get it on Google Play Download on the App Store Now




Source:  OpenStax, Quy hoạch tuyến tính. OpenStax CNX. Aug 08, 2009 Download for free at http://cnx.org/content/col10903/1.1
Google Play and the Google Play logo are trademarks of Google Inc.

Notification Switch

Would you like to follow the 'Quy hoạch tuyến tính' conversation and receive update notifications?

Ask