Hệ số ở hàng s0 được tính bằng cách thay 0 ở hàng s1 bằng , rồi tính hệ số của hàng s0 như sau :
Cần phương cách này khi có một zero ở cột một. Vì có một lần đổi dấu ở cột một, nên phương trình đặc trưng có một nghiệm có phần thực dương. Do đó, hệ thống không ổn định.
Tiêu chuẩn hurwitz
Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz là phương pháp khác để xác định tất cả nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm hay không . Tiêu chuẩn này được áp dụng thông qua việc sử dụng các định thức tạo bởi những hệ số của phương trình đặc trưng.
Giả sử hệ số thứ nhất, an dương. Các định thức Ai với i = 1, 2, .... , n-1 được tạo ra như là các định thức con (minor determinant) của định thức :
Các định thức con được lập nên như sau :
Và tăng dần đến ?n
Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu và chỉ nếu ?i>0 với i = 1 , 2 , …… , n.
* Thí dụ 6 -10: Với n = 3
Tất cả các nghiệm của phương trình đặc trưng có phần thực âm nếu
a2>0 , a2 a1 – a0 a3>0
a2 a1 a0 – a02 a3>0
* Thí dụ 6 -11 : Xét sự ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng
s3 + 8s2 + 14s + 24 = 0
Lập các định thức Hurwitz
Các định thức đều lớn hơn không, các nghiệm của phương trình đặc trưng đều có phần thực âm, nên hệ thống ổn định.
* Thí dụ 6 –12 : Với khoãng giá trị nào của k thì hệ thống sau đây ổn định :
s2 + ks + ( 2k – 1 ) = 0
k (2k -1)>0 k>0
Để hệ ổn định, cần có :
Vậy
* Thí dụ 6 – 13 :
Một hệ thống thiết kế đạt yêu cầu khi mạch khuếch đại của nó có độ lợi k = 2 . Hãy xác định xem độ lợi này có thể thay đổi bao nhiêu trước khi hệ thống trở nên bất ổn, nếu phương trình đặc trưng của hệ là :
s3+ s2 (4+k) + 6s + 16 + 8k = 0
Thay các tham số của phương trình đã cho vào điều kiện Hurwitz tổng quát ở thí dụ 6 –10. Ta được những điều kiện để hệ ổn định :
4 + k>0 , (4+k)6 – (16+8k)>0
(4+k) 6 (16+8k) – (16 + 8k)2>0
Giã sử độ lợi k không thể âm, nên điều kiện thứ nhất thỏa.
Điều kiện thứ nhì và thứ ba thỏa nếu k<4
Vậy với một độ lợi thiết kế có giá trị là 2, hệ thống có thể tăng độ lợi lên gấp đôi trước khi nó trở nên bất ổn.
Độ lợi cũng có thể giãm xuống không mà không gây ra sự mất ổn định.
Bài tập chương vi
VI. 1 Xem nghiệm của phương trình đặc trưng của vài hệ thống điều khiển dưới đây. Hãy xác định trong mỗi trường hợp sự ổn định của hệ. (ổn định, ổn định lề, hay bất ổn)
–1 ,-2 f) 2 , -1 , -3
–1 , +1 g) -6 , -4 , 7
–3 , +2 h) -2 + 3j , -2 – 3j , -2
–1 + j , -1 – j i) -j , j , -1 , 1
–2 +j , -2 – j
2 , -1 , -3
VI. 2 Môït hệ thống có các cực ở –1 , -5 và các zero ở 1, -2 . Hệ thống ổn định không?
VI. 3 Xét tính ổn định của hệ thống có phương trình đặc trưng :
(s + 1) (s + 2) (s - 3) = 0
VI. 4 Phương trình của một mạch tích phân được viết bởi :
dy/dt = x
Xác định tính ổn định của mạch tích phân.
VI. 5 Tìm đáp ứng xung lực của hệ thống có hàm chuyễn :
Xét tính ổn định của hệ dựa vào định nghĩa.
VI. 6 Khai triển G(s) thành phân số từng phần. Rồi tìm đáp ứng xung lực và xét tính ổn định.
a)
b)
VI. 7 Dùng kỹ thuật biến đổi laplace, tìm đáp ứng xung lực của hệ thống diễn tả bởi phương trình vi phân :
ĐS : y(t) = 1 – cost
VI. 8 Xác định tất cả các cực và zero của :
ĐS : s3 (s+3)(s-10)
VI. 9 Với mổi đa thức đặc trưng sau đây, xác định tính ổn định của hệ thống.
2s4 +8s3 + 10s2 + 10s + 20 = 0
s3 + 7s2 + 7s + 46 = 0
s5 + 6s4 + 10s2 + 5s + 24 = 0
s3 - 2s2 + 4s + 6 = 0
s4 +8s3 + 24s2 + 32s + 16 = 0
s6 + 4s4 + 8s2 + 16 = 0 ĐS : b , f : ổn định
VI.10 với giá trị nào của k làm cho hệ thống ổn định, nếu đa thức đặc trưng là :
s3+ (4+k) s2+ 6s + 12 = 0 ĐS : k>2
VI. 11 có bao nhiêu nghiệm có phần thực dương, trong số các đa thức sau đây :
In economics, a perfect market refers to a theoretical construct where all participants have perfect information, goods are homogenous, there are no barriers to entry or exit, and prices are determined solely by supply and demand. It's an idealized model used for analysis,
When MP₁ becomes negative, TP start to decline.
Extuples Suppose that the short-run production function of certain cut-flower firm is given by: Q=4KL-0.6K2 - 0.112 •
Where is quantity of cut flower produced, I is labour input and K is fixed capital input (K-5). Determine the average product of lab
Kelo
Extuples Suppose that the short-run production function of certain cut-flower firm is given by: Q=4KL-0.6K2 - 0.112 •
Where is quantity of cut flower produced, I is labour input and K is fixed capital input (K-5). Determine the average product of labour (APL) and marginal product of labour (MPL)
Quantity demanded refers to the specific amount of a good or service that consumers are willing and able to purchase at a give price and within a specific time period. Demand, on the other hand, is a broader concept that encompasses the entire relationship between price and quantity demanded
Ezea
ok
Shukri
how do you save a country economic situation when it's falling apart
Economic growth as an increase in the production and consumption of goods and services within an economy.but
Economic development as a broader concept that encompasses not only economic growth but also social & human well being.
Shukri
production function means
Jabir
What do you think is more important to focus on when considering inequality ?
sir...I just want to ask one question... Define the term contract curve? if you are free please help me to find this answer 🙏
Asui
it is a curve that we get after connecting the pareto optimal combinations of two consumers after their mutually beneficial trade offs
Awais
thank you so much 👍 sir
Asui
In economics, the contract curve refers to the set of points in an Edgeworth box diagram where both parties involved in a trade cannot be made better off without making one of them worse off. It represents the Pareto efficient allocations of goods between two individuals or entities, where neither p
Cornelius
In economics, the contract curve refers to the set of points in an Edgeworth box diagram where both parties involved in a trade cannot be made better off without making one of them worse off. It represents the Pareto efficient allocations of goods between two individuals or entities,
Cornelius
Suppose a consumer consuming two commodities X and Y has
The following utility function u=X0.4 Y0.6. If the price of the X and Y are 2 and 3 respectively and income Constraint is birr 50.
A,Calculate quantities of x and y which maximize utility.
B,Calculate value of Lagrange multiplier.
C,Calculate quantities of X and Y consumed with a given price.
D,alculate optimum level of output .
the market for lemon has 10 potential consumers, each having an individual demand curve p=101-10Qi, where p is price in dollar's per cup and Qi is the number of cups demanded per week by the i th consumer.Find the market demand curve using algebra. Draw an individual demand curve and the market dema
suppose the production function is given by ( L, K)=L¼K¾.assuming capital is fixed find APL and MPL. consider the following short run production function:Q=6L²-0.4L³ a) find the value of L that maximizes output b)find the value of L that maximizes marginal product