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Concepto de proceso aleatorio, procesos estacionarios y ergódicos.

Un Proceso Aleatorio se define como el conjunto de señales provenientes de realizar un determinado experimento o de un evento de la naturaleza. La naturaleza aleatoria del experimento proviene del desconocimiento de cuál de las señales se obtendrá al realizar el experimento. Para caracterizar los Procesos Aleatorios se definen diversas variables aleatorias como la secuencia de valores de las diversas señales evaluadas en tiempos específicos. Así se puede hablar de x(t1), x(t2), etc. Procesos Aleatorios pueden ser continuos o discretos. Los casos especiales para Procesos Aleatorios mayormente utilizados en el ámbito de las comunicaciones son los Procesos Estacionarios y los Procesos Ergódicos.

Función de densidad de probabilidades

La Función de Densidad de Probabilidades es una función que, al integrarse entre un límite inferior (L1) y un límite superior (L2), indica la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores entre L1 y L2; el área total definida por la función de densidad de probabilidades es igual a 1. Existen varios tipos de distribución, como uniforme, gaussiana, exponencial, entre otras. La figura 1 muestra la función de densidad de probabilidades para una distribución gaussiana y una distribución uniforme respectivamente, el área pintada en azul claro representa el valor de la probabilidad de que la variable tome valores entre L1 y L2:

Función de Densidad de Probabilidades Gaussiana y Uniforme

El concepto de función de densidad de probabilidades puede generalizarse a más de una variable, convirtiéndose en una función n-dimensional denominada Función de Densidad de Probabilidades Conjunta.

Procesos estacionarios

Si la función de densidad de probabilidades aplicada a una señal aleatoria en cierto instante es igual si la misma se desplaza cualquier valor de tiempo, se dice que representa un proceso estacionario de primer orden, resumiendo:

fdp x ( t ) = fdp x ( t + τ ) size 12{ ital "fdp" left (x \( t \) right )= ital "fdp" left (x \( t+τ \) right )} {}

Tomándose en cuenta dos variables aleatorias de un mismo proceso: x(t 1 ) y x(t 2 ), si la función de densidad de probabilidades conjunta aplicada a ambas variables aleatorias es igual si para un desplazamiento de tiempo cualquiera, se dice que el proceso es estacionario de segundo orden:

fdp x 1 ( t ) , x 2 ( t ) = fdp x 1 ( t + τ ) , x 2 ( t + τ ) size 12{ ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t \) ,x rSub { size 8{2} } \( t \) right )= ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t+τ \) ,x rSub { size 8{2} } \( t+τ \) right )} {}

En general, se dice que un proceso es estacionario de orden N si se cumple que:

fdp x 1 ( t ) , x 2 ( t ) . . . x N ( t ) = fdp x 1 ( t + τ ) , x 2 ( t + τ ) . . . x N ( t + τ ) size 12{ ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t \) ,x rSub { size 8{2} } \( t \) "." "." "." x rSub { size 8{N} } \( t \) right )= ital "fdp" left (x rSub { size 8{1} } \( t+τ \) ,x rSub { size 8{2} } \( t+τ \) "." "." "." x rSub { size 8{N} } \( t+τ \) right )} {}

Cualquier proceso estacionario de cierto orden, será estacionario en órdenes inferiores.

Procesos ergódicos

Un proceso aleatorio es ergódico respecto al primer momento si el promedio estadístico (o valor esperado E[x(t)]) y el promedio temporal (<x(t)>) coinciden; resumiendo:

x ( t ) fdp x ( t ) dx ( t ) = lim T 1 T T x ( t ) d ( t ) size 12{ Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {x \( t \) ital "fdp" left (x \( t \) right ) ital "dx" \( t \) } = {"lim"} cSub { size 8{T rightarrow infinity } } { {1} over {T} } Int cSub { size 8{T} } {x \( t \) d \( t \) } } {}

Generalizando, se define la ergodicidad en orden N:

x N ( t ) fdp x ( t ) dx ( t ) = lim T 1 T T x N ( t ) d ( t ) size 12{ Int cSub { size 8{ - infinity } } cSup { size 8{ infinity } } {x rSup { size 8{N} } \( t \) ital "fdp" left (x \( t \) right ) ital "dx" \( t \) } = {"lim"} cSub { size 8{T rightarrow infinity } } { {1} over {T} } Int cSub { size 8{T} } {x rSup { size 8{N} } \( t \) d \( t \) } } {}

Cualquier proceso ergódico de cierto orden, es estacionario en ese mismo orden, además será ergódico en órdenes inferiores. Para procesos ergódicos de segundo orden se cumple que:

  • El nivel DC de la señal es igual al 1er momento: x ( t ) size 12{ langle x \( t \) rangle } {}
  • La potencia promedio total de la señal es igual al 2do momento: x 2 ( t ) size 12{ langle x rSup { size 8{2} } \( t \) rangle } {}
  • La potencia AC de la señal se conoce como varianza: x 2 ( t ) x ( t ) 2 size 12{ langle x rSup { size 8{2} } \( t \) rangle - langle x \( t \) rangle rSup { size 8{2} } } {}

Autocorrelación

La Autocorrelación es una función que indica la relación que tiene el valor que toma una señal en un momento específico con sus vecinos temporales. El concepto de Autocorrelación se aplica para señales determinísticas y aleatorias aunque para estas últimas es una herramienta insustituible si el Proceso es Ergódico; la expresión para la misma corresponde con el valor esperado de la multiplicación de la señal en un tiempo t 1 por la misma señal en un tiempo t 2 :

x = E x ( t 1 ) x ( t 2 ) = E x ( t ) x ( t + τ ) size 12{ Re rSub { size 8{x} } =E left [x \( t rSub { size 8{1} } \) x \( t rSub { size 8{2} } \) right ]=E left [x \( t \) x \( t+τ \) right ]} {}

La variable τ de la función de autocorrelación hace referencia a la diferencia entre los instantes de tiempo involucrados t1 y t2. Si el proceso es ergódico, puede sustituirse la expresión para el valor esperado por la expresión para el promedio temporal como indica la ecuación 4, quedando así una expresión determinística:

x ( τ ) = lim T 1 T T x ( t ) x ( t τ ) d ( t ) size 12{ Re rSub { size 8{x} } \( τ \) = {"lim"} cSub { size 8{T rightarrow infinity } } { {1} over {T} } Int cSub { size 8{T} } {x \( t \) x \( t - τ \) d \( t \) } } {}

Densidad espectral de potencia (dep):

La DEP de una señal indica cómo está distribuida la potencia de la señal en función de la frecuencia. Para Procesos Ergódicos corresponde con la Transformada de Fourier de la función de autocorrelación y su área coincide con la potencia promedio total de la señal, y coincide a su vez la autocorrelación en τ=0.

Questions & Answers

find the 15th term of the geometric sequince whose first is 18 and last term of 387
Jerwin Reply
The given of f(x=x-2. then what is the value of this f(3) 5f(x+1)
virgelyn Reply
hmm well what is the answer
Abhi
how do they get the third part x = (32)5/4
kinnecy Reply
can someone help me with some logarithmic and exponential equations.
Jeffrey Reply
sure. what is your question?
ninjadapaul
20/(×-6^2)
Salomon
okay, so you have 6 raised to the power of 2. what is that part of your answer
ninjadapaul
I don't understand what the A with approx sign and the boxed x mean
ninjadapaul
it think it's written 20/(X-6)^2 so it's 20 divided by X-6 squared
Salomon
I'm not sure why it wrote it the other way
Salomon
I got X =-6
Salomon
ok. so take the square root of both sides, now you have plus or minus the square root of 20= x-6
ninjadapaul
oops. ignore that.
ninjadapaul
so you not have an equal sign anywhere in the original equation?
ninjadapaul
hmm
Abhi
is it a question of log
Abhi
🤔.
Abhi
Commplementary angles
Idrissa Reply
hello
Sherica
im all ears I need to learn
Sherica
right! what he said ⤴⤴⤴
Tamia
hii
Uday
what is a good calculator for all algebra; would a Casio fx 260 work with all algebra equations? please name the cheapest, thanks.
Kevin Reply
a perfect square v²+2v+_
Dearan Reply
kkk nice
Abdirahman Reply
algebra 2 Inequalities:If equation 2 = 0 it is an open set?
Kim Reply
or infinite solutions?
Kim
The answer is neither. The function, 2 = 0 cannot exist. Hence, the function is undefined.
Al
y=10×
Embra Reply
if |A| not equal to 0 and order of A is n prove that adj (adj A = |A|
Nancy Reply
rolling four fair dice and getting an even number an all four dice
ramon Reply
Kristine 2*2*2=8
Bridget Reply
Differences Between Laspeyres and Paasche Indices
Emedobi Reply
No. 7x -4y is simplified from 4x + (3y + 3x) -7y
Mary Reply
how do you translate this in Algebraic Expressions
linda Reply
Need to simplify the expresin. 3/7 (x+y)-1/7 (x-1)=
Crystal Reply
. After 3 months on a diet, Lisa had lost 12% of her original weight. She lost 21 pounds. What was Lisa's original weight?
Chris Reply
what's the easiest and fastest way to the synthesize AgNP?
Damian Reply
China
Cied
types of nano material
abeetha Reply
I start with an easy one. carbon nanotubes woven into a long filament like a string
Porter
many many of nanotubes
Porter
what is the k.e before it land
Yasmin
what is the function of carbon nanotubes?
Cesar
I'm interested in nanotube
Uday
what is nanomaterials​ and their applications of sensors.
Ramkumar Reply
what is nano technology
Sravani Reply
what is system testing?
AMJAD
preparation of nanomaterial
Victor Reply
Yes, Nanotechnology has a very fast field of applications and their is always something new to do with it...
Himanshu Reply
good afternoon madam
AMJAD
what is system testing
AMJAD
what is the application of nanotechnology?
Stotaw
In this morden time nanotechnology used in many field . 1-Electronics-manufacturad IC ,RAM,MRAM,solar panel etc 2-Helth and Medical-Nanomedicine,Drug Dilivery for cancer treatment etc 3- Atomobile -MEMS, Coating on car etc. and may other field for details you can check at Google
Azam
anybody can imagine what will be happen after 100 years from now in nano tech world
Prasenjit
after 100 year this will be not nanotechnology maybe this technology name will be change . maybe aftet 100 year . we work on electron lable practically about its properties and behaviour by the different instruments
Azam
name doesn't matter , whatever it will be change... I'm taking about effect on circumstances of the microscopic world
Prasenjit
how hard could it be to apply nanotechnology against viral infections such HIV or Ebola?
Damian
silver nanoparticles could handle the job?
Damian
not now but maybe in future only AgNP maybe any other nanomaterials
Azam
Hello
Uday
I'm interested in Nanotube
Uday
this technology will not going on for the long time , so I'm thinking about femtotechnology 10^-15
Prasenjit
can nanotechnology change the direction of the face of the world
Prasenjit Reply
At high concentrations (>0.01 M), the relation between absorptivity coefficient and absorbance is no longer linear. This is due to the electrostatic interactions between the quantum dots in close proximity. If the concentration of the solution is high, another effect that is seen is the scattering of light from the large number of quantum dots. This assumption only works at low concentrations of the analyte. Presence of stray light.
Ali Reply
the Beer law works very well for dilute solutions but fails for very high concentrations. why?
bamidele Reply
how did you get the value of 2000N.What calculations are needed to arrive at it
Smarajit Reply
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Source:  OpenStax, Señales y sistemas en matlab y labview. OpenStax CNX. Sep 23, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11361/1.4
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