8.1 Análisis de fourier en espacios complejos  (Page 2/2)

Aliasing

Nuestra senosoidal compleja tiene la siguiente propiedad:

Frecuencias “negativas”

Si nos dan una frecuencia $\pi < \omega < 2\pi$ , entonces esta señal será representada en nuestro plano complejo como:

De nuestras imágenes mostradas arriba, el valor de nuestra senosoidal compleja en el plano complejo se puede interpretar como girar “hacia atrás” (en dirección de las manecillas del reloj) alrededor del círculo unitario con frecuencia $2\pi -\omega$ . Girar en sentido contrario de las manecillas del reloj $w$ es lo mismo que girar en sentido de las manecillas del reloj $2\pi -\omega$ .

Recuerde que $e^{i\omega n}$ y $e^{-(i\omega n)}$ son conjugados . Esto nos da la siguiente notación y propiedad:

Ya que hemos visto los conceptos de senosoidales complejas, retomaremos la idea de encontrar una base para las señales periódicas en tiempo discreto. Después de observar las senosoidales complejas, tenemos que responder la pregunta sobre cuales senosoidales en tiempo discreto necesitamos para representar secuencias periódicas con un periodo $N$ .

$e^{i\frac{2\pi }{N}kn}$ es periódica con periodo $N$ y tiene $k$ “ciclos” entre $n=0$ y $n=N-1$ .

Si dejamos $$\forall n, n=\{0, \dots , N-1\}\colon b_k(n)=\frac{1}{\sqrt{N}}e^{i\frac{2\pi }{N}kn}$$ donde el término exponencial es un vector en $\mathbb{C}^N$ , entonces $(k=\{0, \dots , N-1\}, \{b_k\}())$ es una base ortonormal para $\mathbb{C}^N$ .

Series de discretas de fourier (dtfs)

Utilizando los pasos anteriores en la derivación, usando nuestro entendimiento de espacio Hilbert , y finalmente usando la expansión ortogonal ; el resto de la derivación es automática. Dada una señal periódica discreta (vector ${ℂ}^n$ ) $f(n)$ , podemos escribir: