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0.6 7. introducción del ruido en los sistemas de comunicaciones  (Page 2/2)

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Para cumplir con la igualdad:

V ( f ) = kW ( f ) = k . P ∗ ( f ) e − jwt 0 Gn ( f ) size 12{V \( f \) = ital "kW" \( f \) =k "." { {P* \( f \) e rSup { size 8{ - ital "jwt" rSub { size 6{0} } } } } over { sqrt { ital "Gn" \( f \) } } } } {}

Finalmente, tenemos que la ecuación del filtro óptimo es:

Cuando el ruido que se introduce en el sistema es AWGN, el filtro toma el nombre de filtro adaptado ya que su respuesta impulsiva tiene la forma de p(t) (pulso transmitido). En este caso:

∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = 2 η ∫ − ∞ ∞ ∣ P ( f ) ∣ 2 df = 2 η E Donde : E x = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ∣ 2 ( f ) df = S . ts S = Potencia ts = Tsímbolo ⇒ ∣ y ( t 0 ) ∣ 2 σ 2 = 2 η S . tb = S ηB = S N alignl { stack { size 12{ { { lline y \( t rSub { size 8{0} } \) rline rSup { size 8{2} } } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {2} over {η} } Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline P \( f \) rline rSup { size 8{2} } ital "df"} = { {2} over {η} } E} {} #ital "Donde": {} # E rSub { size 8{x} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { lline X rline rSup { size 8{2} } \( f \) ital "df"} =S "." ital "ts" {} #S= ital "Potencia" {} # ital "ts"= ital "Tsímbolo" {} #{} # drarrow { { lline y \( t rSub { size 8{0} } \) rline rSup { size 8{2} } } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {2} over {η} } S "." ital "tb"= { {S} over {ηB} } = left ( { {S} over {N} } right ) {}} } {}

Probabilidad de error:

La probabilidad de error es la expectativa de que cierto sistema contenga una tasa de errores. Por ejemplo, si se obtiene una Probabilidad de Error de 10 -4 , quiere decir que por cada 10.000 transmitidos se tiene, en promedio, 1 bit errado.

Ahora bien, debemos considerar la situación en la que se tiene una señal que se desea pasar por el proceso de detección óptima para obtener el mensaje original en el destino. Para eso tomamos como condición inicial el cálculo de la probabilidad de error por bit de una señal polar en bandabase.

Para un sistema binario, supongamos que a la salida del receptor se tienen dos niveles de amplitud: 0.5A y -0.5A más el ruido blanco. La probabilidad de error quedaría así:

Pe = 1 2 P ( 0 . 5A + n < Umbral ) + 1 2 P ( − 0 . 5A + n > Umbral ) size 12{ ital "Pe"= { {1} over {2} } P \( 0 "." 5A+n<ital "Umbral" \) + { {1} over {2} } P \( - 0 "." 5A+n>ital "Umbral" \) } {}

Como los valores de salida (0.5A y -0.5A) son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrencia, entonces el valor del umbral es CERO:

Umbral = 1 2 ( 0 . 5A + ( − 0 . 5A ) ) = 0 size 12{ ital "Umbral"= { {1} over {2} } \( 0 "." 5A+ \( - 0 "." 5A \) \) =0} {}

Por lo que la probabilidad de error quedaría:

Pe = 1 2 P ( 0 . 5A + n < 0 ) + 1 2 P ( − 0 . 5A + n > 0 ) = P ( n > 0 . 5A ) Ecuación ( a ) size 12{ ital "Pe"= { {1} over {2} } P \( 0 "." 5A+n<0 \) + { {1} over {2} } P \( - 0 "." 5A+n>0 \) =P \( n>0 "." 5A \) matrix { {} # ital "Ecuación" {} # \( a \) {}} } {}

En general, para un sistema bandabase polar con y(t) de salida, tendríamos que la probabilidad de error es:

Pe = P ( n > y ( t o ) ) size 12{ ital "Pe"=P \( n>y \( t rSub { size 8{o} } \) \) } {}

Siendo t o el momento donde se toma la decisión.

Partiendo de la ecuación (a) podemos obtener las probabilidades de error correspondientes a cada modulación binaria en la cual los pulsos para el “0” (p 0 (t)) y para el “1” (p 1 (t)) toman formas diferentes. Entonces la probabilidad de error puede calcularse en función de los pulsos a la salida p0 0 (t 0 ) y p1 0 (t 0 ):

Pe = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + n > Umbral ) + 1 2 ( P1o ( t 0 ) + n < Umbral ) y : Umbral = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) Entonces : Pe = 1 2 ( P0o ( t 0 ) + n > 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) + 1 2 ( P1o ( t 0 ) + n < 1 2 ( P0o ( t 0 ) + P1o ( t 0 ) ) ⇒ Pe = ( n > 1 2 ( P1o ( t 0 ) − P0o ( t 0 ) ) ) alignl { stack { size 12{ ital "Pe"= { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +n>ital "Umbral" \) + { {1} over {2} } \( P1o \( t rSub { size 8{0} } \) +n<ital "Umbral" \) } {} # matrix {{} # {} # {} # {} } matrix {{} # {} # {} # y:{} } {} #matrix { {} # {} # {} # {}} matrix { {} # ital "Umbral"= { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +P1o \( t rSub { size 8{0} } \) \) {} # {} # {}} {} # matrix {{} # {} # {} # {} } matrix {{} # {} # {} # ital "Entonces":{} } {} #ital "Pe"= { {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +n>{ {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +P1o \( t rSub { size 8{0} } \) \) + { {1} over {2} } \( P1o \( t rSub { size 8{0} } \) +n<{ {1} over {2} } \( P0o \( t rSub { size 8{0} } \) +P1o \( t rSub { size 8{0} } \) \) {} # {} #drarrow ital "Pe"= \( n>{ {1} over {2} } \( P1o \( t rSub { size 8{0} } \) - P0o \( t rSub { size 8{0} } \) \) \) {} } } {}

Haciendo uso de la fórmula para el filtro óptimo podemos hallar la probabilidad de error. El valor de p(t) lo sustituimos por ½(p 1 (t)-p 0 (t)) (Que serán los dos posibles pulsos de entrada correspondientes al “1” lógico y “0” lógico) y cuando se consiga la representación en frecuencia se sustituirá por su equivalente en frecuencia

H R ( f ) ⇒ h R ( t ) h R ( t ) = k . [ p 1 ( t 0 − t ) − p 0 ( t 0 − t ) ] η Entonces : y 2 ( t 0 ) σ 2 ∣ máx = ∫ − ∞ ∞ ∣ p 1 ( t ) − p 0 ( t ) ∣ 2 2η = ∫ − ∞ ∞ p 1 2 ( t ) 2η dt + ∫ − ∞ ∞ p 0 2 ( t ) 2η dt − 2 ∫ − ∞ ∞ p 1 ( t ) . p 0 ( t ) 2η dt ( b ) alignl { stack { size 12{H rSub { size 8{R} } \( f \) drarrow h rSub { size 8{R} } \( t \) } {} #h rSub { size 8{R} } \( t \) =k "." { { \[ p rSub { size 8{1} } \( t rSub { size 8{0} } - t \) - p rSub { size 8{0} } \( t rSub { size 8{0} } - t \) \] } over {η} } {} #ital "Entonces": {} # { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } \rline rSub { size 8{ ital "máx"} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { { lline p rSub { size 8{1} } \( t \) - p rSub { size 8{0} } \( t \) rline rSup { size 8{2} } } over {2η} } } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { {p rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) } over {2η} } } ital "dt"+ Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { {p rSub { size 8{0} rSup { size 8{2} } } \( t \) } over {2η} } } ital "dt" - 2 Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } { { {p rSub { size 8{1} } \( t \) "." p rSub { size 8{0} } \( t \) } over {2η} } } ital "dt" matrix {{} # {} # \( b \) {} } {}} } {}

Se define el coeficiente de correlación entre los pulsos como λ y:

λ = 1 E 1 E 0 ∫ − ∞ ∞ p 0 ( t ) p 1 ( t ) dt E 1 = ∫ − ∞ ∞ p 1 2 ( t ) dt E 0 = ∫ − ∞ ∞ p 0 2 ( t ) dt alignl { stack { size 12{λ= { {1} over { sqrt {E rSub { size 8{1} } E rSub { size 8{0} } } } } Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {p rSub { size 8{0} } \( t \) p rSub { size 8{1} } \( t \) ital "dt"} } {} #E rSub { size 8{1} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {p rSub { size 8{1} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"} {} # E rSub { size 8{0} } = Int rSub { size 8{ - infinity } } rSup { size 8{ infinity } } {p rSub { size 8{0} rSup { size 8{2} } } \( t \) ital "dt"} {}} } {}

Por lo que pudiéramos ver la ecuación (b) expresada en función de las definiciones anteriores:

y 2 ( t 0 ) σ 2 ∣ máx = 1 2η ( E 1 + E 0 − 2λ E 1 E 0 ) ⇒ Pe = Q y 2 ( t 0 ) σ 2 = Q 1 2η ( E 1 + E 0 − 2λ E 1 E 0 ) Para E 1 = E 0 = E y 2 ( t 0 ) σ 2 = E η ( 1 − λ ) Pe = Q E η ( 1 − λ ) Para λ = 0 ; p 1 ∧ p 0 : ortogonales y 2 ( t 0 ) σ 2 = E η Pe = Q E η Para λ = − 1 y 2 ( t 0 ) σ 2 = 2 E η ; Pe = Q 2 E η alignl { stack { size 12{ { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } \rline rSub { size 8{ ital "máx"} } = { {1} over {2η} } \( E rSub { size 8{1} } +E rSub { size 8{0} } - 2λ sqrt {E rSub { size 8{1} } E rSub { size 8{0} } } \) } {} #{} # drarrow ital "Pe"=Q sqrt { { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } } =Q left ( sqrt { { {1} over {2η} } \( E rSub { size 8{1} } +E rSub { size 8{0} } - 2λ sqrt {E rSub { size 8{1} } E rSub { size 8{0} } } \) } right ) {} #{} # matrix {* ital "Para" {} # E rSub { size 8{1} } =E rSub { size 8{0} } =E{} } {} #matrix { { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {E} over {η} } \( 1 - λ \) {} # {} # {}} ital "Pe"=Q left ( sqrt { { {E} over {η} } \( 1 - λ \) } right ) {} # {} #matrix { * ital "Para" {} # λ=0; matrix {{} # p rSub { size 8{1} }&p rSub { size 8{0} } : ital "ortogonales"{} } {}} {} # matrix {{ {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {E} over {η} } {} # {} # {} } ital "Pe"=Q left ( sqrt { { {E} over {η} } } right ) {} #{} # matrix {* ital "Para" {} # λ= - 1{} } {} #matrix { { {y rSup { size 8{2} } \( t rSub { size 8{0} } \) } over {σ rSup { size 8{2} } } } = { {2E} over {η} } {} # ; {} # {}} ital "Pe"=Q left ( sqrt { { {2E} over {η} } } right ) {} } } {}

1. detección coherente para modulaciones binarias

1.1 detección coherente para la modulación ask

Para detectar de forma coherente la señal ASK se necesita un receptor como sigue:

Receptor para ASK

Queda claro que la integración y el cierre del interruptor ocurrirá cada tb.

Dado que trabajamos con un caso especial de ASK: OOK (On-Off Keying), los pulsos p 1 (t) y p 0 (t) son:

p 1 ( t ) = V ∏ t − tb 2 tb Cos ( w c t ) p 0 ( t ) = 0 alignl { stack { size 12{p rSub { size 8{1} } \( t \) =V Prod { left [ { {t - { { ital "tb"} over {2} } } over { ital "tb"} } right ]} ital "Cos" \( w rSub { size 8{c} } t \) } {} # p rSub { size 8{0} } \( t \) =0 {}} } {}

Entonces:

Pe OOK = Q Ep η size 12{ ital "Pe" rSub { size 8{ ital "OOK"} } =Q left ( sqrt { { { ital "Ep"} over {η} } } right )} {}

1.2 detección coherente para la modulación psk

El diagrama de bloques para un receptor coherente PRK es:

Receptor para PRK

Dado que p 1 (t) y p 0 (t) son señales antípodas (opuestas entre sí), el factor λ será igual a -1, por lo que:

Pe PRK = Q 2 Ep η size 12{ ital "Pe" rSub { size 8{ ital "PRK"} } =Q left ( sqrt { { {2 ital "Ep"} over {η} } } right )} {}

1.3 detección coherente para la modulación fsk

Como en la modulación FSK (binaria) se trabaja con dos frecuencias distintas, se estima un proceso de detección para cada frecuencia:

Receptor para FSK

Los pulsos p1(t) y p0(t) Se diferencian por la frecuencia a la que trabajan, es decir:

p 1 ( t ) = VCos ( ( w c + Ω ) t ) p 0 ( t ) = VCos ( ( w c − Ω ) t ) alignl { stack { size 12{p rSub { size 8{1} } \( t \) = ital "VCos" \( \( w rSub { size 8{c} } + %OMEGA \) t \) } {} #p rSub { size 8{0} } \( t \) = ital "VCos" \( \( w rSub { size 8{c} } - %OMEGA \) t \) {} } } {}

Ahora bien, que si ocurre que λ=0 (es decir, si las frecuencias son tales que los pulsos son ortogonales) y los factores E1 y E0 son iguales, la probabilidad de error para FSK será la misma que para OOK. Es decir:

Pe FSK = Q Ep η size 12{ ital "Pe" rSub { size 8{ ital "FSK"} } =Q left ( sqrt { { { ital "Ep"} over {η} } } right )} {}

A continuación se muestra una gráfica que compara los valores de Pe vs E/. A través de ella se puede determinar la fortaleza de cada modulación ante la inducción del ruido en el sistema.

Curvas de Probabilidad de Error para modulaciones Binarias.

2. probabilidad de error para modulaciones m-arias

A continuación se muestran las gráficas de Pe vs E/ para diversas modulaciones m-arias utilizando, en todos los casos, un receptor óptimo:

Curvas de Probabilidad de Error para modulaciones M-aria PSK.

Curvas de Probabilidad de Error para modulaciones M-aria QAM.

Simulaciones en labview

Para reforzar los conocimientos adquiridos en este módulo, se presentan a continuación una serie de VIs referentes a la detección óptima binaria y M-aria. Es importante resaltar que para la ejecución de cada uno es necesario tener instalado en el ordenador el software MATLAB, debido a que varios procedimientos fueron realizados haciendo uso del módulo de mathscript.

Vi de detección coherente binaria

Vi de detección coherente m-aria
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Source:  OpenStax, Laboratorio digital interactivo. OpenStax CNX. Feb 09, 2011 Download for free at http://cnx.org/content/col11274/1.1
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